2019年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学一模试卷

2019年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1、若a与2互为相反数，则a+1的值为（）A.-3． B.-1． C.1． D.3． 2、“中国天眼”FAST射电望远镜的反射面总面积约250000m2，数据250000用科学记数法表示为（）A.25×104 B.2.5×105 C.2.5×106 D.0.25×106 3、如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点A重合的点为（）A.点C和点N B.点B和点M C.点C和点M D.点B和点N 4、若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是（）A.xy B.3xy C.x D.3x 5、如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（）A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 6、西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）A.asin26.5° B.C.acos26.5° D. 7、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上一点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，点C在第一象限，若点C在函数（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为（）A.1 B.2C. D.3． 8、在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A. B.C. D. 二、填空题1、不等式3x+1＜-2的解集是______．2、分解因式：m2n-4n=______．3、如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1=______．4、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是______．5、在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y分别表示输入的6个数及相应的计算结果：x-2-10123y-5-214710当从计算器上输入的x的值为-8时，则计算器输出的y的值为______6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想帮助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=m，若在P处有一棵树与墙CD、AD的距高分别是18m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为______．三、计算题1、计算：______四、解答题1、一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为（1）袋子中白球的个数是______个；（2）随机模出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用列表或通过树状图的方法，求两次摸到的小球颜色不同的概率．______2、图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图．（1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小（2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使∠AQM=∠BQM．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．______3、在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元，若2019年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2019年利润能否超过5亿元？______4、如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB的延长线上，且CE=DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A=30°，OA=6时，则CD的长为______．______5、随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求也越来越高，为了了解3月中旬长春市城区的空气质量情况，某校“综合实践环境调查小组”，从“2345天气预报”网，抽取了朝阳区和南关区这两个城区2019年3月11日-2019年3月20日的空气质量指数，作为样本进行统计，过程如下，请补充完整收集数据朝阳区167617978971535917985209南关区74544747434359104119251（备注：空气质量指数，简称AQI，是定期描述空气质量的）整理、描述数据按下表整理，描述这两城区空气质量指数的数据：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染朝阳区______________________________南关区43201（说明：空气质量指数≤50时，空气质量为优，50＜空气质量指数≤100时，空气场量为良，100＜空气质量指数≤150时，空气质量为轻微污染，150＜空气质量指数≤200时，空气质量为中度污染，200＜空气质量指数≤300时，空气质量为重度污染）分析数据两城区的空气质量指数的平均数、中位数、方差如下表所示城区平均数中位数方差朝阳区116.7912999.12南关区84.1______4137.66请将以上两个表格补充完整得出结论可以推断出哪个城区这十天中空气质量情况比较好？请至少从两个不同的角度说明推断的合理性______6、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲车中途因故停车一段时间，之后以原速维续行驶到达目的地B，此时乙车同时到达目的地A，如图，是甲、乙两车离各自出发地的路程y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）甲车的速度是______km/h，a的值为______；（2）求甲车在整个过程中，y与x的函数关系式；（3）直接写出甲、乙两车在途中相遇时x的值．______7、<问题提出>如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．<问题解决>解决此问题可以用如下方法，延长AD到点E使DE=AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针装转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是______<应用>如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2．求BC的长<拓展>如图③，在△ABC中，∠A=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE=4，CF=5，则EF的长为____________8、如阁，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P从点A出发，沿折线AC-BC以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，在边AB上取一点Q，满足∠PQA=2∠B，过点Q作QM⊥PQ，交边BC于点M，以PQ、QM为边作矩形PQMN，设点P的运动时间为t秒（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；（2）当矩形PQMN为正方形时，求t的值；（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式；（4）作点A关于直线PQ的对称点A′，作点C关于直线PN的对称点C′，当点A′、C′这两个点中只有一个点在矩形PQMN内部时，直接写出此时的t取值范围．______9、有两个函数y1和y2，若对于每个使函数有意义的实数x，函数y的值为两个函数值中较小的数，则称函数y为这两个函数y1、y2的较小值函数．例如：y1=x+1，y2=-2x+4，则y1，y2的较小值函数为y=．（1）函数y是函数y1=，y2=x的较小值函数．①在如图的平面直角坐标系中画出函数y的图象．②写出函数y的两条性质．（2）函数y是函数y1=x2-2x+1，y2=x+1的取较小值函数．a≤x时，函数值y的取值范围为0≤y≤b．当a取某个范围内的任意值时，b为定值．直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b的值．（3）函数y是函数y1=x2-2mx，y2=mx（m为常数，且m≠0）的较小值函数．当m-2≤x≤1时，随着x的增大，函数y先增大后减小，直接写出m的取值范围．______

2019年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学一模试卷参考答案一、选择题第1题参考答案:B解：∵a与2互为相反数，∴a=-2，∴a+1=-2+1=-1．故选：B．先依据相反数的定义求得a的值，然后再依据有理数加法法则计算即可．本题主要考查的是相反数的定义，依据相反数的定义求得a的值是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:B【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将250

000

用科学记数法表示为2.5×105．故选B．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:A解：折叠成正方体时，与点A重合的点为C、N．故选：A．根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察即可得到重合的点．本题考查了几何体的展开图，仔细观察图形，得到折叠的正方体的图形是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:C解：根据题意得：3x2y÷3xy=x，故选：C．根据题意列出算式，计算即可得到结果．此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:C解：①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式x-2，结果不变，③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3-x，结果不变．故选：C．根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:B解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，故选：B．根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:C解：如图，过点C作CM⊥y轴，∵点A的坐标为（0，1），∴OA=1∵△ABC是等腰直角三角形∴AC=AB，∠BAC=90°∴∠CAM+∠OAB=90°，且∠OAB+∠ABO=90°∴∠CAM=∠ABO，且AC=AB，∠CMA=∠AOB=90°∴△AOB≌△CMA（AAS）∴MC=AO=1∴点C的横坐标为1，∵若点C在函数（x＞0）的图象上，∴当x=1时，y=3∴OM=3，∴AM=OM-OA=2∴AC==∴S△ABC==故选：C．过点C作CM⊥y轴，可证△AOB≌△CMA，可得MC=AO=1，即可求OM的长，由勾股定理可求AC的长，即可求△ABC的面积．本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是本题的关键．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:C解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA=∠BDC=90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二、填空题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:x＜-1解：解不等式3x+1＜-2，得3x＜-3，解得x＜-1．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去1再除以3，不等号的方向不变．得到不等式的解集为：x＜-1．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:n（m+2）（m-2）解：原式=n（m2-4）=n（m+2）（m-2），故答案为：n（m+2）（m-2）原式提取n，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:30°解：作出辅助线如图：则∠2=42°，∠1=∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3=180°-∠2-∠3=30°，∴∠1=∠3=30°．故答案为：30°．作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:（，）解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD=2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．由题意可得OA：OD=2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:-23解：根据表中的数据分析可知，该程序是求3x+1的值；当x-8时，3×（-8）+1=-23．故答案为：-23．先根据括号给出的数据确定计算器输入的式子为3x+1，然后把x=-8代入计算即可．本题主要考查利用计算器计算有理数，解题关键是根据表格推理出程序求什么．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:180解：∵P在矩形ABCD内，P的坐标为（18，6）∴AB=m≥6，BC=28-m≥18，得6≤m≤10矩形的面积为S=m•（28-m）=-m2+28m整理得S=-（m-14）2+196∵6≤m≤10，在x=14的左侧，a＜0∴S随m的增大而减小∴m=10时，取得最大值，代入解得S=-（10-14）2+196=180故答案为：180本题是通过构建函数模型解答面积的问题．只要根据题意，列出矩形面积的函数关系式即可本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．三、计算题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:解：原式=-3-（3-8+16）+2×=-3-3+8-16+=8-2-本题涉及乘方、二次根式化简、完全平方式、特殊角三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．四、解答题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:2解：（1）设白球有

x

个，则可得=，解得：x=2，经检验：x=2是原分式方程的解，即白球有2个，故答案为：2；（2）画树状图得：共有6种等可能的结果数，其中两次摸到的小球颜色不同的小球的结果数为4，所以两次摸到的小球颜色不同的概率=（1）设白球有

x

个，利用概率公式得到=，然后解方程即可；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸到的小球颜色不同的小球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:解：（1）如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，此时PA+PB=PA′+PB=BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB最小；（2）如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，此时∠AQM=∠BQM．（1）如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；（2）如图③，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，Q点即为所求．本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:解：设该企业2017、2018年的年平均增长率为x，依题意，得：3（1+x）2=4.32，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），∴4.32×（1+20%）=5.184（亿元）．答：该企业2019年利润能超过5亿元．设该企业2017、2018年的年平均增长率为x，根据该企业2016年及2018年的利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入2019年的利润=2018年的利润×（1+增长率）中即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:2（1）证明：如图连接OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠A+∠ADO=90°，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD=∠ADO，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA=6，∠A=30°，∴OD=，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∠COA=120°，∠DOC=30°，∴∠DOC=∠OCD=30°，∴CD=OD=2．故答案为：2．（1）如图连接OC．欲证明CE是切线，只要证明OC⊥CE即可；（2）解直角三角形求出OD，只要证明CD=OD即可解决问题；本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:0

6

0

3

1

56.5

解：根据给出的数据补表如下：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染朝阳区06031南关区43201把南关区的空气质量指数从小到大排列为：43，43，47，47，54，59，74，104，119，251，则中位数是=56.5；故答案为：0，6，0，3，1；56.5；朝阳区这十天中空气质量情况比较好；朝阳区的空气质量指数的平均数高于南关区空气质量指数的平均数，朝阳区的空气质量指数的方差小于南关区空气质量指数的方差，从而得出朝阳区这十天中空气质量情况比较好．根据给出的数据和中位数的定义即可补全两个图表；根据平均数和方差的意义即可得出哪个城区这十天中空气质量情况比较好，答案不唯一．本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:80

1.5

解：（1）由题意可得，甲车的速度是：80÷1=80km/h，a=1+（2-120÷80）=1.5，故答案为：80，1.5；（2）当0≤x≤1时，y=80x；当1≤x≤1.5时，y=80，；当1.5≤x≤2时，设甲车再次行驶过程中y与x之间的函数关系式是y=kx+b，，解得，即甲车再次行驶过程中y与x之间的函数关系式是y=80x-40．故甲车甲车在整个过程中y与x之间的函数关系式为：y=；（3）乙车的速度为：120÷2=60（千米/时），（小时），甲、乙两车在途中相遇时x的值为．（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车的速度和a的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得甲车甲车在整个过程中y与x之间的函数关系式；（3）根据题意，乙车行驶80千米所用时间即为甲、乙两车在途中相遇时x的值．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:解：（1）1＜AD＜5

；（2）延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如图②，在△DAC和△DEB中，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC=EB=3，∵AE=2AD=4，AB=5，∴BE2+AE2=AB2，∴∠AEB=90°，∴BD=，∴BC=2；（3）​.【分析】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题．（1）证明△DAC≌△DEB得AC=EB，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论；（2）延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，证明△DAC≌△DEB得AC=EB，再证明∠AEB=90°，由勾股定理求得BD，进而得BC；（3）延长FD到G，使得DG=FD，连接BG，EG，证明△CDF≌△BDG，得BG=CF，∠DCF=∠DBG，再证明∠EBG=90°，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF．【解答】解：（1）在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC=EB=4，∵AB-BE＜AE＜AB+BE，AB=6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5；（2）见答案；（3）延长FD到G，使得DG=FD，连接BG，EG，如图③，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG=CF=5，DG=DF，∠DBG=∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG=EF，∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠DBG=90°，∴EG=，∴EF=.故答案为．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:解：（1）如图1中当0＜t≤3时，作QH⊥AC于H．∵∠AHQ=∠C=90°，∴∠AQH=∠B，∵∠AQP=2∠B，∴∠AQH=∠PQH，∵QH=QH，∠QHA=∠QHP=90°，∴△QHA≌△QHP（ASA），∴AH=PH=t，QA=PQ，在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵QH∥BC，∴=，∴=，∴AQ=t，∴PQ=AQ=t．如图2中，当3＜t＜7时，作QK⊥BC，∵∠AQP=2∠B=∠B+∠QPB，∴∠QPB=∠B，∴PQ=QB，∵QK⊥BC，∴PK=BK=（7-t），∵∠BKQ=∠C=90°，∴QK∥AC，∴=，∴=