正弦函数余弦函数的性质高一数学系列-2

第5章

三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质人教A版2019高中数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等【导学2】正弦函数和余弦函数的定义域和值域是什么？

【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]正弦函数、余弦函数的性质【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位

长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自变量的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.

正弦函数、余弦函数的性质【定义】一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个都有，且.那么函数就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函数的周期.

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

根据上述定义，有如下结论：【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】①对周期函数与周期定义中的“当取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些有，那么T就不是的周期.

②自变量本身加的常数才是最小正周期.如中T不是最小正周期，因为，所以才是最小正周期.

正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】③周期函数的周期不唯一.若T是函数的最小正周期，则也是函数的周期.

④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数

所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.

正弦函数、余弦函数的性质【例1】1.求下列函数的周期：

【解】

探究与发现

探究与发现【例1】2.求下列函数的周期

【解】本题可以直接用公式求解：

探究与发现【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲

线关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)

对称.③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.

奇偶性单调性【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如

讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整

个定义域.

如图可以看到：当由增大到

时，曲线逐渐上升，的值由1减小到-1.

正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

单调性正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.

由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：单调性余弦函数在每一个闭区间

上都单调递增；在每一个闭区间

上都单调递减.

同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：

最大值与最小值【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：①正弦函数当且仅当时取得最大值1，

当且仅当