2023年高考数学文一轮复习教案第1章1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考试要求】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题和特称命题将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示名称全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【常用结论INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．(×)(4)命题“∃x0∈R，sin2eq\f(x0,2)＋cos2eq\f(x0,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．2．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________________________________．答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形3．命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))解析∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0，∴a<x2－x.当x＝eq\f(1,2)时，(x2－x)min＝－eq\f(1,4)，∴a<－eq\f(1,4).题型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1(1)(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sinx<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈(p∨q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sinx<1，所以命题p为真命题．对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题．(2)(2022·阳泉模拟)为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次．记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若p∨q是真命题，(綈q)∨r是真命题，则得第一名的是________．答案甲解析由p∨q是真命题，可知p，q中至少有一个是真命题，又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r是假命题，又(綈q)∨r是真命题，则綈q是真命题，即q为假命题，故得第一名的是甲．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4；②p1∧p2；③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.答案①③④解析p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式．(2)判断命题p，q的真假．(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．跟踪训练1(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．(2)(2022·宿州模拟)已知命题p：∀k∈(1,2)，方程eq\f(x2,2－k)－eq\f(y2,k－1)＝1都表示双曲线；q：抛物线y＝4x2的焦点坐标为(1,0)，下列判断正确的是()A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(綈q)是真命题D．(綈p)∧q是真命题答案C解析若方程eq\f(x2,2－k)－eq\f(y2,k－1)＝1表示双曲线，则(2－k)(k－1)>0，解得1<k<2，故命题p：∀k∈(1,2)，方程eq\f(x2,2－k)－eq\f(y2,k－1)＝1都表示双曲线，为真命题，抛物线y＝4x2的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，故命题q为假命题，故A，B错误；所以綈q为真命题，綈p为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题．题型二含一个量词的命题命题点1含有一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p：∃n0∈N，neq\o\al(2,0)≥2n0＋5，则綈p为()A．∀n∈N，n2≥2n＋5B．∃n0∈N，neq\o\al(2,0)≤2n0＋5C．∀n∈N，n2<2n＋5D．∃n0∈N，neq\o\al(2,0)＝2n0＋5答案C解析由特称命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5.(2)命题p：菱形的对角线互相垂直平分，则p的否定为______________________________．答案存在一个菱形，它的对角线不互相垂直或平分命题点2全称命题、特称命题的真假例3(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x0，使xeq\o\al(2,0)≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使eq\f(1,x0)>2答案B解析A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中，因为eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，不满足eq\f(1,x)>2，所以D是假命题．(2)下列命题是真命题的是________．(填序号)①∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；②∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数；③∀x∈R，x4<x5；④∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0.答案①④解析当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故①为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故②为假命题；当x＝0时，x4＝x5，故③为假命题；xeq\o\al(2,0)－2x0＋1＝(x0－1)2，当x0＝1时，xeq\o\al(2,0)－2x0＋1＝0，故④为真命题．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．命题“∃n0∈N*，f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案B解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n0∈N*，f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是“∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”．2．(2022·重庆模拟)下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，x2－|x|＋1≤0B．∀x∈R，－1≤eq\f(1,cosx)≤1C．∃x0∈R，(lnx0)2≤0D．∃x0∈R，sinx0＝3答案C解析对于A，因为x2－|x|＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以∀x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命题；对于B，当x＝eq\f(π,3)时，eq\f(1,cosx)＝2，所以∀x∈R，－1≤eq\f(1,cosx)≤1是假命题；对于C，当x＝1时，lnx＝0，所以∃x0∈R，(lnx0)2≤0是真命题；对于D，因为－1≤sinx≤1，所以∃x0∈R，sinx0＝3是假命题．思维升华含量词命题的解题策略判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x，使p(x)成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．跟踪训练2(1)(2022·哈尔滨模拟)命题“∀n≥3，n∈N*，xn＋yn＝zn无正整数解”的否定是()A．∀n≥3，n∈N*，xn＋yn＝zn有正整数解B．∀n≥3，n∉N*，xn＋yn＝zn有正整数解C．∃n0≥3，n0∉N*，＋＝有正整数解D．∃n0≥3，n0∈N*，＋＝有正整数解答案D解析因为命题“∀n≥3，n∈N*，xn＋yn＝zn无正整数解”是全称命题，其否定为特称命题，于是得该命题的否定为“∃n0≥3，n0∈N*，＋＝有正整数解”．(2)下列四个命题：p1：∀x∈R，2x－1>0；p2：∀x∈(0，π)，sinx>cosx；p3：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；p4：∃x0∈(0，＋∞)，.其中真命题是()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4答案B解析p1为真命题；当x＝eq\f(π,6)时，sinx<cosx，故p2为假命题；当x0∈(－∞，0)时，2x0－3x0＝－x0>0，故2x0>3x0，所以p3为假命题；由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x及y＝的图象(图略)知，p4为真命题．题型三根据命题的真假求参数的范围例4(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤2C．a>1 D．－2≤a≤1答案C解析当命题p为真时，即“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，即当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0，又当x＝1时，x2－a取最小值1－a，所以1－a≥0，即a≤1，当命题q为真时，即“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≤－2或a≥1，又命题“(綈p)∧q”是真命题，所以p假q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a≤－2或a≥1，))即实数a的取值范围是a>1.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).延伸探究本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥eq\f(1,2)－m，∴m≥eq\f(1,2).INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是()A．－4≤m≤－3 B．m<－4C．m≥－4 D．－4≤m≤0答案D解析若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则命题“∃x0∈[1,4]，xeq\o\al(2,0)－4x0－m＝0”是真命题，则m＝x2－4x(x∈[1,4])，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4(x∈[1,4])，因为函数y＝x2－4x在[1,2)上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.思维升华由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．跟踪训练3(1)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，－2]∪[1,2)解析若命题p为真，则Δ＝4a2－16<0，∴－2<a<2；若命题q为真，则3－2a>1，∴a<1.∵p∨q为真，p∧q为假，则p真q假或p假q真；∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－2或a≥2，,a<1，))∴1≤a<2或a≤－2，∴实数a的取值范围为1≤a<2或a≤－2.(2)已知命题“∃x0∈R，使axeq\o\al(2,0)－x0＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案a>eq\f(1,8)解析因为命题“∃x0∈R，使axeq\o\al(2,0)－x0＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是真命题，当a＝0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是假命题，不符合题意；当a≠0时，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－8a<0，))解得a>eq\f(1,8).课时精练1．命题“∀x>0，xsinx<2x－1”的否定是()A．∀x>0，xsinx≥2x－1B．∃x0>0，x0sinx0≥－1C．∀x≤0，xsinx<2x－1D．∃x0≤0，x0sinx0≥－1答案B解析因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x>0，xsinx<2x－1”的否定是“∃x0>0，x0sinx0≥－1”．2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，当p真q假时，p∧q为假命题，故p∨q为真命题推不出p∧q为真命题．3．命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R，1<f(x)≤2B．∃x0∉R，1<f(x0)≤2C．∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案D解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定是“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．4．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案B解析所有平行四边形都不是菱形为假命题，所以其否定为真命题．5．若命题“p∧q”与命题“(綈p)∨q”都是假命题，则()A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假答案B解析因为命题“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，若p为假命题，则綈p为真命题，则(綈p)∨q为真命题，与命题“(綈p)∨q”是假命题矛盾，故必有p为真命题，q为假命题．6．下列命题为真命题的是()A．∃x0∈R，ln(xeq\o\al(2,0)＋1)<0B．∀x>2，2x>x2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝eq\f(3,2)答案C解析∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln1＝0，故A为假命题；当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sinα－sinβ，故C为真命题；sinx0＋cosx0＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴sinx0＋cosx0≠eq\f(3,2)，故D为假命题．7．命题p：△ABC中，若sinA＝eq\f(1,2)，则cosA＝eq\f(\r(3),2).命题q：函数y＝|x－1|在(2，＋∞)上单调递增．下列命题是真命题的为()A．p∧q B．p∨qC．p∧(綈q) D．綈q答案B解析△ABC中，sinA＝eq\f(1,2)，则A＝30°或150°，∴cosA＝±eq\f(\r(3),2)，故p为假命题，函数y＝|x－1|的单调递增区间为(1，＋∞)，∴该函数在(2，＋∞)上单调递增，故q为真命题，∴p∨q为真命题．8．(2022·西北师大附中质检)已知命题p：∃x0∈R，mxeq\o\al(2,0)＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．－2≤m≤2 B．m≤－2或m≥2C．m≤－2 D．m≥2答案D解析命题p：∃x0∈R，mxeq\o\al(2,0)＋1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤－2.当p，q为假命题时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m≥2或m≤－2，))即m≥2.9．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是________________________．答案所有的三角形都不是等腰三角形10．若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．答案1解析∵函数y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上是增函数，∴ymax＝taneq\f(π,4)＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.11．给出以下命题：①∃x0∈R，sin2eq\f(x0,2)＋cos2eq\f(x0,2)＝eq\f(1,4)；②对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2；③命题“∃x0∈R，eq\f(1,x0－1)<0”的否定是“∀x∈R，x－1≥0”；④∀x∈R，cosx<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.其中是真命题的是________．(填序号)答案③解析sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，故①为假命题；因为eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，且tan

eq\f(π,3)>tan

eq\f(2π,3)，故②为假命题；命题“∃x0∈R，eq\f(1,x0－1)<0”等价于“∃x0∈R，x0－1<0”，故原命题的否定是“∀x∈R，x－1≥0”，故③为真命题；当x＝0时，cosx＝eq\b\lc