2020-2021学年北京通州区初三第一学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年北京通州区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意1.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．【详解】∵为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为；故答案为：C．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.2.如图，为⊙切线，连接，．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质，可得，故可得【详解】解：∵为⊙切线，又故选：B【点睛】本题考查圆的切线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握切线的定义和性质是解题的关键3.如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、该点向该坐标轴作的垂线所围成的直角三角形的面积是定值为，所以即可知道．【详解】根据题意可知：．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义，理解k的几何意义并利用数形结合的思想是解答本题的关键．4.已知一个扇形的弧长为，半径是3，则这个扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据弧长公式求出扇形的圆心角，再根据扇形的面积公式求即可．【详解】，，，．故选择：C．【点睛】本题考查扇形的弧长与面积，掌握扇形的弧长与面积公式是解题关键．5.水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m．若管道中积水最深处为0.4m，则水面宽度为（）A.0.8m B.1.2m C.1.6m D.1.8m【答案】C【解析】【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，由垂径定理得出AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，求出OC=OD-CD=0.6m，由勾股定理求出BC，即可得出AB．【详解】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：则AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，∴OC=OD-CD=0.6m，∴BC===0.8（m），∴AB=2AC=1.6m，∴排水管道截面的水面宽度为1.6m，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．6.古希腊人认为，最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，则此人身高大约为（）A.160cm B.170cm C.180cm D.190cm【答案】B【解析】【分析】根据题意列出比例式，根据比例性质求解即可．【详解】解：设头顶至肚脐的长度为xcm，根据题意，得：=，∴x=×105≈0.618×105=64.89，则此人身高大约为105+64.89=169.89≈170cm，故选：B．【点睛】本题考查线段的比、比例的性质，能根据题意列出比例式是解答的关键．7.已知抛物线的对称轴为，且经过点，．则下列说法中正确的是（）A.若h＝7，则a＞0 B.若h＝5，则a＞0C.若h＝4，则a＜0 D.若h＝6，则a＜0【答案】D【解析】【分析】设y=a(x-h)2+k，当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；代入函数式整理得a（63-14h）=7，将h的值分别代入即可得出结果．【详解】解：设y=a(x-h)2+k，当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；代入函数式得：，∴a（8-h）2-a（1-h）2=7，整理得：a（63-14h）=7，∴，若h=7，则a=-＜0，故A错误；若h=5，则a=-1＜0，故B错误；若h=4，则a=1＞0，故C错误；若h=6，则a=＜0，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．8.公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如详解图，先利用三角函数的知识把正边形的边长用含有的式子表达出来，求解出正边形的周长，再利用正边形的周长无限接近圆的周长即可求解．详解】如图：，，则正边形的周长为：，圆的周长为：，由圆的内接正n边形的周长无限接近圆的周长可得：整理得：故选：A．【点睛】本题考查了极限的思想，抓住圆内接正边形的周长无限接近圆的周长是解题关键．二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分）9.______．【答案】【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值代入计算即可得到结果．【详解】解：原式=；故答案为：．【点睛】此题考查了特殊三角函数的运算，知道特殊函数值熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．【答案】答案不唯一（，任何，的二次函数均可）【解析】【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．【详解】解：∵顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为y=ax2，∵图象开口向下，∴a＜0，∴可取a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2，故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．11.如图，，，为⊙上的点．若，则______．【答案】50°【解析】【分析】根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数．【详解】∵∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解题的关键．12.如图，输电塔高．在远离高压输电塔的处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为．已知测角仪高，则______．【答案】【解析】【分析】作交BE于点C，根据题意可知AC长，并可求出BC长，由，求出结果即可．【详解】如图，作交BE于点C，根据题意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意得出BC和AC的长是解题的关键．13.如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则与四边形的面积之比等于__________．【答案】【解析】【分析】根据，可以得到的值，再根据DE∥BC，可以得到△ADE∽△ABC，从而可以求得△ADE和△ABC的面积之比即可求解．【详解】解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14.如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．【答案】【解析】【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴点B坐标为；故答案为．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15.在平面直角坐标系中，点为双曲线上一点．将点向左平移3个单位后，该点恰好出现在双曲线上，则的值为______．【答案】3．【解析】【分析】先求出点平移后的点，利用点A在双曲线与点A1在双曲线上构造方程组解方程组即可．【详解】由点，向左平移3个单位后，为，由点A在双曲线与点A1在双曲线上，则，解得，故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数的解析式，掌握反比例函数的解析式的求法，关键是利用平移前后坐标构造方程组是解题关键．16.如图，在平面直角坐标系中，点，⊙的半径为3，点为⊙上任意一点．则的最大值为______________．【答案】【解析】【分析】如图所示，当直线OP与圆A相切时，连接AP，过P作PHx轴，此时取得最大值，利用切线的性质得到AP垂直于OP，在直角三角形AOP中，根据直角边等于斜边的一半确定出，为的值，求出即可．【详解】如图所示，当直线OP与圆A相切时，连接AP，过P作PHx轴，此时取得最大值，OP为圆A的切线，APOP，A(6，0)，圆半径AP=3，.在Rt△AOP中，AP====则的最大值为故答案为：【点睛】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．三、解答题（共9小题，17－22题每小题5分，23，24题每小题7分，25题8分，共52分）17.如图，与交于点，，，，，求的长．【答案】【解析】【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出AB的长．【详解】据题意，；又∵，∴；∴；∵，，，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．18.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x………y………（1）该二次函数的对称轴为；（2）求出二次函数的表达式．【答案】（1）直线x＝1；（2）【解析】【分析】（1）利用表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），则可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x-3），然后把（0，3）代入求出a即可．【详解】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），这两个点关于抛物线的对称轴对称，所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；故答案为：直线x＝1（2）方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），∴设抛物线解析式为：；∵把代入得，解得，；∴抛物线的解析式为：，即；方法二：据题意，该函数过点，，代入得；解得：；∴抛物线解析式为：．【点睛】本题考查了抛物线的对称性和用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线上已知点的特征，设不同的解析式，有利于迅速解题．19.下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①作射线OP；②以点P为圆心，PO为半径作⊙P，与射线OP交于另一点B；③分别以点O，点B为圆心，大于PO长为半径作弧，两弧交射线OP上方于点D；④作直线PD；则直线PD即为所求．根据小付设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵，，∴（____________）（填推理的依据）．又∵OP是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）垂直平分线的判定；经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）由题中所给尺规作图方法可直接作图；（2）由题意可直接进行求解．【详解】（1）由题意可得：作出⊙，标记点；作出点；作出直线；∴DP即为所求直线；（2）证明：∵，，∴（垂直平分线的判定），又∵OP是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）；故答案为垂直平分线的判定；经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．20.在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，．（1）求出反比例函数表达式及的值；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）将点代入可求得m，再将代入可求a（2）不等式的解集即为的函数图像在的函数图像上方的部分，根据函数图像和A、B点的坐标即可得出结果．【详解】解：（1）∵点函数上∴又∵点在函数上∴（2）由题意可得图像如图所示：由图像可得，当的函数图像在的函数图像上方时，或不等式的解集为．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像和性质，熟记函数的图像和性质，熟练运用数形结合思想是解决本题的关键．21.如图，在中，．以为直径作⊙，交于点，连接．作平分线，交于点，交于点．（1）求证：．（2）若，，求长．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可证∠ADB=90°，进而有∠1+∠3=90°，再根据角平分线定义可得∠1=∠2，然后由∠2+∠5=90°和对顶角相等证得∠4=∠5，再根据等腰三角形的等角对等边即可证得结论；（2）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半和锐角三角函数分别求得BD、BC、BE，进而可求得DF的长．【详解】（1）如图，∵为⊙直径，∴，∴，∵，∴，∵CE为的角平分线，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）在中，∵，，∴，在中，∵，，∴＝＝，∠ACB=60°，在中，∵，＝，∴＝＝，∴＝，∴．【点睛】本题考查圆的基本性质、角平分线的定义、对顶角相等、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、锐角的三角函数，熟练掌握圆的直径所对的圆周角为直角和含30°角的直角三角形的性质是解答的关键．22.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：（1）函数的图象与轴交点；（填写“有”或“无”）（2）下表是y与x的几组对应值：x……y…n…则n的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为．（结果精确到0.1）【答案】（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4），或【解析】【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出，所以与y轴没有交点；（2）把x=1代入函数式即可；（3）根据表格坐标点描点连线即可；（4）将表示为函数的形式，找函数图像与x轴的交点即可．【详解】由题意可得：，故与y轴无交点；故填：无；把x=1代入函数式，得：n=−4；故填：；根据表中数据描点连线如图：将表示为函数的形式，即函数与x轴的交点，根据图像可得：，或；故填：，或．【点睛】此题考查函数与方程的关系，会根据函数表达式做函数图像，观察函数图象找出其与坐标轴的交点．23.如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形．连接，与正方形交于点，，连接，．（1）求的值（用表示）；（2）求证：；（3）写出线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出△BAG为等腰三角形即可求解；（2）先根据等腰三角形求出∠CEB的度数（用表示），再由外角的性质求出∠AHE的度数（用表示），根据内错角相等即可求证；（3）延长构造平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证．【详解】（1）由旋转得，∴（2）∵，∴又∵∴∠CEB=∠EHA∴．（3）如图延长到使，联结，∵∴∴∴∵∴∴∵∴∵即又∵∴四边形为平行四边形∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形∴∴．【点睛】此题主要考察了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定；解题的关键是掌握平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定，以及正确作出辅助线．24.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线对称轴；（2）求点纵坐标（用含有的代数式表示）；（3）已知点．将点向下移动一个单位，得到点．若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）由题意得点A、B是关于对称轴对称的两个点，进而可根据二次函数的对称性求解对称轴即可；（2）由题意易得二次函数解析式为，则有，进而问题可求解；（3）由题意可分当时，则顶点坐标为，求得；当时，则将点代入抛物线可求，进而利用图像法可求解．【详解】解：（1）由题意得点A、B是关于对称轴对称的两个点，∴二次函数的对称轴为直线；（2）∵抛物线与轴交于，，∴设，即，∴，∴点C的纵坐标为；（3）由题意得：当时，则抛物线的顶点为，不妨当时，则；如图所示：当时，不妨将点代入抛物线得：，解得：；∴当时，抛物线与线段只有一个交点．综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．25.点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“宽度”．（1）如图，⊙半径2，与轴，轴分别交于点，，点．①在点视角下，⊙的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________；②点为轴上一点．若在点视角下，线段的“宽度”为，求的取值范围；（2）⊙的圆心在x轴上，半径为，直线与x轴，y轴分别交于点，．若线段上存在点，使得在点视角下，⊙的“宽度”可以为，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）①4；2；②或；（2）当时，；当时，为任意实数；当时，为无值．【解析】【分析】（1）①先求出