浅谈利用微积分证明不等式

浅谈利用微积分证明不等式

如果在初等数学领域证明平等，请使用几种常见的数学方法，如分析、补充方法、教育法、反证法、判决方法、反证法、判决方法、反证法、反证法、立证法、换证法等。虽然种类不同，但一般不注重解决问题的技能，因此解决问题容易陷入复杂和“死胡同”的局面。面对一些较难证明的不等式,微积分理论不啻为一种极佳的解题路径。根据不等式的结构特点,微积分可以构造出辅助函数。这样一来,单纯的不等式问题便转换成函数的问题,继而再利用微积分理论来证明不等式的成立。当前,微积分理论证明不等式的运用已经成为数学研究领域中一个被关注的研究课题,受到了学者的普遍重视。作为高等数学中的重要内容,微积分理论具有非凡的教学价值,有助于常量数学以及变量数学之间的相互过渡。相较于初等数学中的常用数学方法,微积分证明不等式可以增强解题的直观形象性,从而能起到化解难度、增加成功率等作用。认识到用微积分理论证明不等式的解题“优势”后,我们在开展高数教学时,应当致力于理论与实践两个层面的共同开发,让学生掌握一定的数学思想方法,并探索这一领域的内涵与外延。本文以“微积分证明不等式”为研究基点,力图探讨这一数学方法在高数领域的重要性、运用方法以及发展前景,以期促成高数教学工作的长足发展。一、鼓励学生探索和挖掘自身的思维能力微积分理论是一个完整的理论体系,其中蕴含着极限思想、无限逼近思想、无穷小思想等等,这些思想都折射出辩证统一的唯物主义思辨内涵。在学习微积分理论时,学生自然会透过公理的表象,从中去探索和挖掘自身的思维能力。此外,微积分证明不等式的教学理念在培养学生数学思维能力方面发挥着不可小觑的作用。因为微积分证明不等式能够不拘泥于固定的模式,途径灵活多样,通过这些优点令学生举一反三,易于掌握。将不等式的证明过程纳入到微积分理论领域中,正是高数研究发展到成熟期的重要表现之一。具体说来,微积分证明不等式在高数中的重要性主要表现在以下几个方面:1.证明式的应用正如前文所言,常量数学中常常有一些较难解决的问题,所以在证明不等式时会遭遇一些“死角”。微积分证明不等式可以破除常量数学的狭隘性,并且更为快速、有效。还有一点极为重要,在利用微积分理论去证明不等式时,学生的应用思维能力会随之得到提升,并从公理化方法中提炼出辩证思维能力。2.等数学或称微数学初等数学教育的重点在于培养学生常量和静态的数学应用,它只是在常量的几何问题与物理问题上做解释。例如规则图形的容量、高度、运动直线运动速率,质点间的作用力等等方面。高等数学则是变量和动态的数学应用教学,它主要是针对一些变化的几何问题与物理过程问题的研究,特别是在近距离物体与瞬间物理量等问题上的内容居多。例如不规则图形的长度、面积、容量等,还有一般运动问题、曲线运动的变力做功,物体间的吸引力等等问题方面均可运用。根据这两者的内容对照,我们可以了解到初等数学和高等数学之间看似横亘着巨大的差距,实际上两者是相互影响、相互印证的关系。而其中微积分理论就是一处“枢纽”,通过微积分证明不等式环节,可以有效地将两者联系起来,从而完成了数学知识体系的过渡与升华。3.极限、中极限在微积分证明不等式的过程中,我们需要应用各种不同的数学思想方法去解决相应的问题。这其中,“极限”概念是微积分理论中最基础、最重要的。利用微积分证明不等式这一载体,学生可以找寻到理解“极限”的入口,继而深入探寻微积分理论更深层次的内涵。极限语言的简练、精确性,也可以让学生充分地感悟到数学语言的优美,从而激发出学习兴趣和热情。二、高等数学中的微结构拟合在高等数学的不等式内容介绍中,总体上可分为函数不等式和数值不等式两种,它们之间有着含变量与不含变量的区别。而微积分证明不等式也是高等数学中重要内容组成之一,人们可以通过微积分作为“介质”,从而研究函数的不同性质与形态。比如针对一些用常规证明无法求证的不等式,我们就可以利用其不等式本身的结构特性,巧化函数不等式的构成,使不等式转化为函数的形态,再利用微积分的性质定理证明不等式。1.采用等式教学在初等数学中,微积分证明不等式的方法有很多,但是人们比较看重解题过程中的解题技巧。用微积分证明不等式与以往所学的其他方法相比,它更多的体现了解题结构上的精细巧妙,在证明过程中往往要求忽略或简化过程。所以,教师在教导学生的时候,要分清教学内容的主次,有效利用初等高数的教学内容来展开,高等数学微积分不等式内容的课程教学工作,同时做好内容之间的衔接问题。让学生可以在原有的基础上拓展思路。2.利用微管证明研在初等数学里我们已经学过了很多关于不等式证明的方法,例如,比较法、综合法、反证法、数学归纳法等等。但是当这些方法都很难证明有些非常规的不等式时,我们就可以运用微积分中的导数定义、函数的极值、拉各日郎中值、柯西中值、定积分理论等等证明不等式,这样相对简单一点。因此,把不等式转化为微积分的形式求证是一个比较有效的证明方式。以下是对微积分证明不等式主要方法的介绍:(1)典型的线性范围用导数定义来证明不等式,这个方法适用的范围不太广泛,所以在讲不等式内容的时候,应该突出最为常用的典型例题。我们在仔细观察以下例题时候,不难发现其问题与结论之间的关系。有些不等式符合导数的定义,因此可以利用导数的定义把不等式转化,从而达到化繁为简的目的。在教微积分证明不等式时,我们不仅要围绕解题的简易原则,而且课程例题不能太过繁多,这样不利学生的思维发展。(2)x内可导在某领域内,函数可取极小值,极大值,最小值,最大值,利用这些值也是可以用来求不等式。定理(极值的第一充分条件)设f在点x0连续,在某领域U0(x0;ξ)内可导。若当时x∈(x-ξ),当fl(x≤0);当x∈(x0,x+ξ)时,则f在x0取得极小值。若当x∈(x-ξ)时,当fl(x≥0);当x∈(x0-ξ,x)时,则f在x0取得极大值。若函数连续,则在f′(x)=0取得极值,将所求极值与区间端点对应的函数值比较,便可求出最大值与最小值,然后将其运用到不等式证明当中,大大简化证明的过程,教师可以根据以下的简题构造与学生解释,函数的极值证明不等式解题信息的简化问题。(3)拉格朗日1和2拉格郎日定理,是指如果函数y=f(x)满足以下条件:(1)在区间[a,b]上连续;(2)在区间[a,b]内可导。则在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ′)=f(b)−f(a)b−af(ξ′)=f(b)-f(a)b-a。由于ξ在a,b之间,因此f′(ξ)将有一个取值范围,这个取值范围也是所求证的不等式的取值范围。方案一:在上式可以观察得到,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊形式。教师在引导学生思路的时候,可以指导学生由罗尔中值定理来证明拉格朗日中值定理,在证明的过程中,记忆其定理的性质。方案二:在教学中,教师还可以提出,构造辅助函数F(x)=[f(b)-f(a)]x-(b-a)f(x)指出由于f(x)在[a,b]上面连续,在(a,b)内可导,所以F(x)也在[a,b]上连续,在(a,b)内又可导,也因为F(a)=af(b)-bf(a)和F(b)=af(b)-bf(a),F(a)=F(b)…把求证的思路延伸出去,力求在不等式与拉格郎日定理之间找出切入点,快速解题。在解题过程中,让学生积累一些解题的方法与经验,增加教育的全面性。(4)xa,b评分柯西中值定理:设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续,(a、b)可导,g'(x)≠0(x∈(a,b))则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]成立。在用柯西中值定理证明不等式的时候,它的应用条件是:不等式含有两个函数的函数值及一阶可导,或两个函数的增量及一阶可导,它是在不等式应用中较为常见的方法之一。(5)用绝对积分理论证明方程1.[a,b]可积函数定理:(积分不等式性质)设函数f(x)与g(x)为定义在[a,b]上的两个可积函数,若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则有,∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx。2.不含界面约束的不基于规则的不一定性在定积分理论证明不等式的过程中,以下面为例,我们要教会学生利用积分和微分是互逆运算和积分本身具有单调性这两个特性,把问题的关键放在不等式两边构造成积分的形式当中,再使用牛顿-莱布尼茨公式,利用上面的定理即可证明。同时,还可以利用积分的有界性来证明不等式,这里就不一一举例了。三、“微课”的提出背景时代的发展总会影响到各类学科的发展基调,这其中当然也包括微积分领域。我国的微积分教学已经历经了六十年的巨大变革。发生改变的原因,一方面和现实环境相关联,比如院校扩招等等;还有一部分原因则是源于知识本身的探索与追求。上世纪八十年代所发起的“微积分改革”,使教学方法更加多样、教学视野更为广阔。可以说微积分证明不等式在高数教学中的发展潜能是无限的,需要教学者积极探索、大胆创新。1.用微管理工具求解化微积分是数学解题中的一个重要工具,虽然不能用微积分的思路来代替高校数学所具有的解题思路,但是它作为高校数学的的辅助工具,还是有重要的指导作用。用微积分的方法可以直接预测题目的答案,便于检查,还可以对数学中的一些猜想和假设进行证明和推广,在构造题型,探求解题思路方面也有很广泛的应用。微积分思想和方法的应用已被高等数学所重视,在数学领域的应用也越来越广泛。2.利用证明式获取创造型人才如果教师仅仅注重概念和概念之间的衔接,而不带领学生们去探究其中的“前因后果”,以及追求内容中所反映出来的数学思想方法,那么高数教学成果必然会大打折扣。所以高数教学中不可缺乏数学基本思想的灌溉,否则数学教学的课程则有可能变为“无源之水”。在利用微积分证明不等式时,教师同样要适当渗入一些现代数学的思想方法,改变学生的被动接受局面,从而激发他们的自觉性和主动性,向现代社会所需要的创造型人才方向靠拢。例如证明不等式时所用到的函数图像,会包含有微积分理论中的“极限”概念。而认识这一概念,必须要经历从直观到抽象、从感性到理想的循环发展过程。这时,教师便可以鼓励学生们发扬创造思维能力,利用可感知的事例去理解极限数学思想。证明不等式也是一种实例化