光子晶体光纤的模式特性和传输特性研究

光子晶体光纤的模式特性和传输特性研究

0正抗侧力波的正抗波特性近年来，该光纤已成为研究的热点。该光纤通过沿轴向的空气孔中引入多个错误来导光。这是一种基于光束技术的特殊结构光纤。正是这种独特的涂层结构，赋予了光束晶体光纤许多独特性和新应用。自1996年以来,人们已经提出了许多用于研究这种复杂结构光纤的数值模型或方法,这些包括有效折射率模型(EffectiveIndexModel),平面波展开方法(PlaneWaveExpansionMethod),多极子方法(Multi-poleMethod),时域有限差分方法(FiniteDifferenceTimeDomainMethod,FDTD)和有限元方法(FiniteElementMethod)等.在众多方法之中,矢量有限元方法因具备处理任意的结构参量和空气孔排列截面的光纤的能力而倍受青睐.本文从麦克斯韦方程组出发,运用变分原理推导出了各向异性介质中场微分方程的复数泛函表达式,随后利用棱边/节点混合单元插值函数离散化该泛函并建立了关于复传播常量的广义矩阵方程.一种全新的各向异性介质匹配层边界条件的加入使得本方法不仅可以分析束缚模特性,而且还可以用来研究模式的泄漏特性.在对一种矩形波导的分析过程中,通过比较验证了方法的正确性,同时研究了该吸收边界的吸收特性,并给出了该波导结构多个模式下的相位常量与损耗(文中损耗均指confinementloss)随波长的变化关系.通过对正六边形晶格光子晶体光纤分析得出:在空气孔间距和空气孔直径相等的情况下,光纤的有效折射率仅与波长有关,而与光纤的空气孔圈数无关;随着波长的增大,光纤损耗近似成指数增大,通过增加空气孔圈数和空气孔直径则可以显著降低光纤损耗.1导电介质的安装在各向异性介质中,电磁场满足如下微分方程∇×([p]∇×Φ)-k20[q]Φ=0(1)式中k0为自由空间中光的波数,Φ代表电场E或者磁场H,当Φ代表电场时[p]=[μr]-1,[q]=[εr](2)当Φ为磁场时[p]=[εr]-1,[q]=[μr](3)在式(2)与(3)中,[εr]与[μr]分别为波导介质的介电张量与导磁张量.1.1广义矩阵方程设光波沿z轴方向传播,并且假设波导沿z轴无限长,那么矢量场Φ可以表示为Φ(x,y,z)=Φ(x,y)e-γz=(Φt(x,y)+Φz(x,y))e-(α+jβ)z(4)式中Φt(x,y)与Φz(x,y)为矢量场分别在横向(垂直于z轴平面内)与z轴方向的投影,γ=α+jβ为复传播常量,α与β分别为衰减常量与相位常量.将式(4)代入式(1),运用变分原理可以得到式(1)的一个复数泛函表达式F(Φ)=12∬Ω[(pzz∇t×Φt)(∇t×Φt)-k20(qttΦt)Φt-k20(qzzΦz)Φz-(ptt(∇tΦz+γΦt)az)((∇tΦz+γΦt)az)]dΩ(5)式中∇t=(ax∂∂x+ay∂∂y)为横向梯度算符,Ω为求解问题的区域,即波导的横截面,ptt与pzz,qtt与qzz分别为[p]、[q]张量分量,它们之间的关系分别为[p]=[pttpzz]=[pxxpxy0pyxpyy000pzz],[q]=[qttqzz]=[qxxqxy0qyxqyy000qzz](6)在式(5)中引入如下变换ϕt=γΦt(7)在等式两边同时乘以γ2,并且利用ϕet={Ne}T{ϕet}=[ax{U(x,y)}T+ay{V(x,y)}T]{ϕet}(8)ϕez={Le}T{ϕez}={ϕez}T{Le}(9)对泛函式进行离散化,式(5)最终可以写为F=12[{ϕt}Τ[Att]{ϕt}+γ2{ϕtϕz}Τ[BttBtzBztBzz]⋅{ϕtϕz}](10)式中,在式(8)与式(9)中,T为矩阵转置算符,{Ne}与{Le}分别为横向方向上与边对应的矢量基插值函数和z方向与点对应的节点基插值函数,两向量长度均与划分的网格类型有关,具体细节可以参阅文献.对式(10)运用里兹(Ritz)方法,可以得到一个与γ相关的广义矩阵方程(Att000)=-γ2(BttBtzBztBzz)=(β-jα)2(BttBtzBztBzz)(11)式中,单元矩阵分别为[Aett]=∬Ωe[-k20(qxx{U}{U}Τ+qyy{V}{V}Τ+qxy{U}{V}Τ+qyx{V}{U}Τ)+qzz(∂{U}∂y∂{U}Τ∂y-∂{U}∂y∂{V}Τ∂x-∂{V}∂x∂{U}Τ∂y+∂{V}∂x∂{V}Τ∂x)]dΩ(12)[Bett]=-∬Ωe[pxx{V}{V}Τ-pxy{V}{U}Τ-pyx{U}{V}Τ+pyy{U}{U}Τ]dΩ(13)[Betz]=[Bezt]Τ=-∬Ωe[pxx{V}∂{L}Τ∂y-pxy{V}⋅∂{L}Τ∂x-pyx{U}∂{L}Τ∂y+pyy{U}∂{L}Τ∂x]dΩ(14)[Bezz]=-∬Ωe[k20qzz{L}{L}Τ+(pxx∂{L}∂y∂{L}Τ∂y-pxy∂{L}∂y∂{L}Τ∂x-pyx∂{L}∂x∂{L}Τ∂y+pyy+∂{L}∂x⋅∂{L}Τ∂x)]dΩ(15)通过求解式(11)可以得到特征值与特征向量,对应于该模式的传播常量与场分量.值得注意的是,在一些特殊的介质中,如PML介质层中,式(12)～(15)积分异常复杂,矩阵元素通常采用采点加权的方法求得,具体可以参阅文献.1.2异质pml介质层完全匹配层(PerfectlyMatchedLayer,PML)由Berbenger于1994年首先提出.其基本思想是在边界处设置与相邻介质波阻抗完全匹配的介质层,使得入射波无反射地进入PML层.由于PML层为有耗介质,进入PML层的透射波将迅速衰减,从而可在理论上求得波导的损耗.为了获得更好的吸收特性,这里采用一种全新的具有高吸收特性的各向异性PML介质层.在该PML介质层中,介电张量与导磁张量可表示为[εr]PML=εr[Λ],[μr]PML=μr[Λ](16)式中[Λ]=(szsy/sx000sxsz/sy000sysx/sz)(17)在式(17)中,sx,sy与sz为PML参量,其取值形式因区域类型(见图1)不同而不同,具体如表1.其中sx,sy可以有如下两种表达式:si=1-jσmaxωε(ρ(x,y)di)m,i=x,y(18)si=1+σmaxωε(ρ(x,y)di)m,i=x,y(19)式(18)与式(19)的区别在于前者还可以得到模式的衰减常量.两式中,σmax为PML层中最大电导率,ω为入射波的角频率,ε取值与PML层相邻侧介质取值相同,di为PML层厚度,ρ(x,y)为点(x,y)到PML介质层开始处的垂直距离,m值决定着PML层的电导率分布,其典型值一般为2、3或者4.2处理和处理时的/k0为了验证方法的正确性,分析了一种为人们熟知的矩形波导结构.图2(a)给出了这种波导的横截面示意图,其中,20%AlGaAs的折射率为3.452;5%AlGaAs为3.555;GaAs为3.590,空气的折射率为1.0.考虑到波导截面对称的特点,通过理想导电(PerfectElectricconductor,PEC)与理想导磁(PerfectMagneticconductor,PMC)两种边界条件的加入,仅仅需要分析整体区域的一半即可获得问题的解,这样不仅减小了运算规模,而且也缓解了对计算机内存的压力.图2(b)为计算区域示意图,其中灰色区域为PML区域.需要指出的是,文中的所有分析均是基于三角形单元的.图3与图4分别给出了在工作波长λ=1.064μm时,基模的相位常量与衰减常量(分别为所求得的特征值的实部与虚部)在PML介质电导率分布几种不同情形时与σmax的关系.可以看出:不同电导率分布情况下,当σmax较小时,α/k0与σmax均成线性关系,而当σmax>106时,不同m值下的α/k0均趋于一相同值,说明在此时吸收已基本稳定;σmax与m对相位常量亦有影响,不过这种影响相对数值上十分有限,当σmax>106时,亦即吸收稳定时,不同电导率分布下的β/k0基本上不变.相位常量与衰减常量在σmax较小时随σmax变化的现象可以这样解释:计算中设置的PML介质层厚度有限,不可能延伸到整个半空间,当σmax较小时对入射波的吸收效果不好,当σmax较大时吸收效果较好,两项数值才能够趋于稳定.所以在加入PML吸收边界求解时必须选择正确的电导率σmax以获得稳定的吸收特性.表2与表3中给出的是本方法与其它方法结果的比较,分别为波长λ=1.064μm时前五种模式的衰减常量与相位常量的情形.其中,前两列数据分别为辐射边界条件有限元方法与ID-BPM(ImaginaryDistanceBeamPropagationMethod)方法两种方法求得,最后一列数据为本方法通过反复验证所求得结果.需要指出的是,方法在PML参量设置以及矩阵方程建立方面与文献不同.经过比较可以看出,本方法与其它方法数据基本吻合.图5分别给出了E11x,E12x,E31x和E32x四种模式的主场分量Hy的归一化分布图.图6与图7分别给出了该波导结构几种低阶模式的损耗与β/k0值随波长变化曲线.3基模有效折射与空气孔径的关系为了充分说明本方法对复杂结构光波导的处理能力,对正六边形晶格有限空气孔光子晶体光纤进行了简要的分析.图8为三圈空气孔结构PCFs截面示意图.其中,圆孔为空气孔,折射率为1.0,光纤的背景折射率为1.45,Λ=2.0μm为空气孔间距,d为空气孔直径.PML层参量分别为Px=7.2μm,Py=6.3μm,所有PML层厚度均为d0=2.0μm.由于结构的对称性特点,这里仅需要分析光纤截面的四分之一.图9与图10分别给出了空气孔圈数为3,d/Λ分别为0.5,0.6和0.7三种情况下,基模有效折射率(β/k0)与损耗(confinementloss)随波长变化曲线.图9说明:小空气孔径光纤具有更高的有效折射率,而随着波长的增大,各空气孔径下的有效折射率均减小,但它们之间的差值增大.图10则表明:相同波长情况下,大空气孔径光纤具有更小的损耗,这种优势在短波长范围内表现得尤为明显,而随着波长的增大,各空气孔径下的光纤损耗近似成指数增大.图11与图12分别给出了空气孔圈数不同的情况下,基模有效折射率(β/k0)与损耗随波长变化关系.从图11中可以看出,当空气孔间距与空气孔径一定时,空气孔圈数对有效折射基本上没有影响.从图12则可以得出结论:增加光纤的空气孔圈数可以显著降低光纤的损耗.光子晶体光纤这些有趣的现象在很多文章里都有很好的解释,这里不再赘述.4正抗侧和能量边界的吸收特性本文从麦克斯韦方程组出发,运用变分原理推导出了各向异性介质中场微分方程的复数泛函表达式,利用棱边/节点混合单元插值函数离散化了该泛函式,最终建立了关于复传播常量的广义矩阵方程.一种全新的