利用辅助函数解数学问题

利用辅助函数解数学问题

使用辅助函数来解决数学问题是高等数学中常见的方法之一。特别是在解证明问的过程中，如果使用适当的辅助函数，它将起到一半的作用，但正确的辅助功能并不容易找到。在下面的示例中，本文解释了寻求辅助函数的方法如下：。1辅助函数的法例1证明12(xn+yn)＞(x+y2)n(x＞0,y＞0,x≠y,n＞1).12(xn+yn)＞(x+y2)n(x＞0,y＞0,x≠y,n＞1).证明因为所要证明的不等式中,多次出现tn这样的表达式,联想到凹函数的定义,不难发现应考虑辅助函数f(t)=tn(t>0),由于f′(t)=ntn-1,f″(t)=n(n-1)tn-2>0,故f(t)是凹函数,从而当x>0,y>0,x≠y时,有f(x)+f(y)2＞f(x+y2)f(x)+f(y)2＞f(x+y2)即12(xn+yn)＞(x+y2)n12(xn+yn)＞(x+y2)n2辅助函数的性质例2设f(x)在上可微,且满足f(1)=2∫120xf(x)dxf(1)=2∫120xf(x)dx,证明在内至少有一点θ,使f′(θ)=-f(θ)θ.f′(θ)=−f(θ)θ.证明由所要证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将f′(θ)=f(θ)θ变形为f(θ)+θf′(θ)=0,联想到[xf(x)]′|x=θ=f(θ)+θf′(θ)可考虑辅助函数F(x)=xf(x),x∈因为f(1)=2∫120xf(x)dx,由积分中值定理可知,至少存在一点ξ∈[0‚12],使得f(1)=ξf(ξ).而对于F(x),有F(ξ)=ξf(ξ),F(1)=f(1),所以F(ξ)=F(1).由Rolle定理知,至少存在一点θ∈(ξ,1),使F′(θ)=0,即f′(θ)=-f(θ)θ3由材料的y[1-tx[1-t]bx例3设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f″(x)≥0,证明对于(a,b)内任意两点x1,x2及0≤t≤1,有f[(1-t)x1+tx2]≤(1-t)f(x1)+tf(x2)证明因f″(x)≥0,所以f(x)是凹函数,不妨做出f(x)的粗图,设x是位于两点x1,x2之间的任意一点,则x可表示为x=(1-t)x1+tx2,0≤t≤1.由图象上可看出,经过f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的弦上任一点都位于函数f(x)的图象上方,故可考虑弦函数y=(1-t)f(x1)+tf(x2),其中t=x-x1x2-x1,x1≤x≤x2,由于y位于函数f(x)的上方,所以有y≥f(x),x1≤x≤x2即y=(1-t)f(x1)+tf(x2)≥f(x),即证得f[(1-t)x1+tx2]≤(1-t)f(x1)+tf(x2)4辅助函数的f1例4设f(x)在上连续,证明∫10dx∫10dy∫10f(x)f(y)f(z)dz=16[∫10f(t)dt]3证明将等式右边的积分上限1变量x,做辅助函数F(x)=∫x0f(t)dt.则有F(1)=∫10f(t)dt,F(0)=0,F′(x)=f(x),即F(x)是f(x)的原函数.∫10dx∫10dy∫yxf(x)f(y)f(z)dz=∫10f(x)dx∫1xf(y)F(z)|yxdy=∫1012[F(1)-F(x)]2dF(x)=16[F(1)-F(0)]3=16[F(1)]3=16(∫10f(t)dt)3.5辅助函数的建立例5证明对任意正数a,b,c有abc3≤27(a+b+c5)5.证明这一类问题找辅助函数最困难,因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多,须见多识广,经验丰富.因为a,b,c是正数,所以可令a=x2,b=y2,c=z2,则不等式变为x2y2z6≤27(x2+y2+z25)5,将该不等式两边同时取对数,有lnx2+lny2+3lnz2≤ln27(x2+y2+z25)5,故考虑做辅助函数F(x,y,z)=lnx+lny+3lnz,我们首先求函数F(x,y,z)在球面x2+y2+z2=5R2上的极大值(x>0,y>0,z>0),解方程组{F′x=1x+2λx=0;F′y=1y+2λy=0;F′z=3x+2λz=0；x2+y2+z2-5R2=0.得x=R,y=R,z=√3R,所以F(x,y,z)的极大值是lnR+lnR+3ln√3R=ln(3√3R