广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

石门高级中学2022-2023学年度第二学期高二级数学科第二次统测试卷（全卷共4页，供高二年级1-19班使用）命题人：郑兆至班别_____________学号_____________姓名____________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.过原点且与圆相切的直线方程是（）A. B.或C.或 D.或2.已知椭圆的焦点为，过点的直线与交于，两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.3.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于（）A.8 B.6 C.10 D.04.已知函数在时有极值为0，则（）A.11 B.4或11 C.4 D.85.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2019项和为（）A. B. C. D.6.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A.1 B.3 C.6 D.97.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为（）A.30 B.36 C.60 D.728.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若是双曲线：上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（）A. B.渐近线方程为C.的最小值是1 D.焦点到渐近线的距离是10.甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（）A.小明得6分的概率为 B.小明得分低于6分的概率为C.小明得分不少于3分的概率为 D.小明恰好得3分的概率为11.已知函数，下列命题中为真命题的是（）A.的单调递减区间是B.的极小值点是2C.有且只有一个零点D.过点只能作一条直线与的图象相切12.数列的前项和为，若，，则有（）A. B.为等比数列C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为___________.14.若函数在处的切线过点，则实数__________.15.函数，的最大值为___________.16.已知数列满足，，则数列的前7项和___________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）在数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，且，求数列的前项和.18.（本小题12.0分）设函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间与极值；（3）若方程有实数解，求实数的范围，19.（本小题12.0分）如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.20.（本小题12.0分）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动。在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道，假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.21.（本小题12.0分）已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和22.（本小题12.0分）已知函数（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围.石门高级中学2022-2023学年度第二学期高二级数学科第二次统测试卷答案和解析1.【答案】C解：由题意，圆的方程为，可知圆心坐标为，半径为2，当切线的斜率存在时，设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径2得，，因此一条切线方程为；当切线斜率不存在时，轴是符合条件的切线，方程为，故选C.2.【答案】C解：根据题意，椭圆的焦点为，，即椭圆的焦点在轴上，且；又由的周长为8，则有，变形可得，则；故要求椭圆的方程为；故答案选：C.3.【答案】D解：∵，，成等比数列，∴，∴，化为，解得.∴则，故选D.4.【答案】A解：由题意，且.解得，，；故选A.5.【答案】C解：等差数列的前项和为，公差设为，，，可得，，解得，，即，，则数列的前2019项和为.故选：C.6.【答案】D解：设各项都是正数的等比数列的公比为，由题意可得，即，解得（舍去）或，∴.故选：D.7.【答案】C解：分两种情况讨论：第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，此种情况有种排法，第二种：当第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，此种情况有种排法，所以共有36+24=60种排法，故选：C.8.【答案】B解：设，，则，所以在上递增，又，所以时，，此时，所以，时，，此时，所以，所以时，，因为是奇函数，所以时，，由得或，所以或.9.【答案】BCD解：对于A，因为双曲线：的一个焦点坐标为，∴，∴，故A错；对于B，渐近线方程，故B正确；对于C，的最小值是，故C正确；对于D，焦点到渐近线的距离是，故D正确，故选；BCD.10.【答案】BD解；对选项A，小明得6分的概率为，故A错误；对选项B，小明得分低于6分的概率为，故B正确；对选项C，小明得分不少于3分的概率为，故C错误；在D中，小明恰好得3分的概率为，故D正确.故选：BD.11.【答案】ABD解：，可得的单词递减区间为，A项正确；又单调递增区间为，，所以2是的极小值点，B项正确；又，，则有三个零点，C项错误；原点不在曲线上，设切点为，则，得，所以切点只有一个，D项正确.12.【答案】ABD解：∵，∴当时，，两式相减得，，即，当时，，∴数列从第二项起为公比为3的等比数列，∴故C错误，D正确，由当时，，所以，又满足上式，所以，为等比数列，故A，B正确.故选ABD13.【答案】-540解：由的展开式中；二项式系数之和为64得，∴，∴的展开式的通项为，令，得，所以展开式中常数项为.故答案为：-540.14.【答案】6解：函数，切点为，，，即切线的斜率为2，则切线方程为，又因为切线过，所以，解得.故答案为6.15.【答案】解：因为，，令，即，，解得，在为上单调递增，令，即，，解得，在上单调递减，所以.故答案为.16.【答案】解：当时，，即，∵，①，当时，，②，由①-②可得，∴，当时，上式也成立，∴，，∴，∴，∴，设数列的前项和，∴，①，②由①-②可得，∴，∴，故答案为：.17.【答案】解：（1）由题可得，即，∴数列是以为公差的等差数列，∵，；（2）由（1）知，∴，∴，∴.18.【答案】解：（1）的定义域为，，，又，∴曲线在处的切线方程为，即；（2），令，得，列表如下：-1-0+逆减极小值递增∴的单调递减区间是，单调递增区间是，所以，无极大值；（3）由（2）知在处取极小值，无极大值，则，无最大值，所以的值域为，因为方程有实数解，所以有实数解，所以的范围就是函数的值域，所以实数的范围为.19.【答案】解；（1）因为为三棱柱，所以平面是平行四边形，又交于点，所以是的中点，又为的中点，所以，又平面，又平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，而平面，故，，又，所以、、两两互相维直所以以为坐标展点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则，所以，不妨令，则.设平面的一个法向量为，则，所以，不妨令，则.所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.【答案】解：（1）设“甲猜对灯迷”为事件，“乙猜对灯迷”为事件，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件，由题意得，，，且事件、相互独立，则，所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；（2）设“丙猜对灯迷”为事件，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人部没有猜对”为事件，则由题意，，解得.21.【答案】解；（1）根据题意，因为数列为各项均为正数的等整数列，所以，即得，设公整为，则有，，，又因为，，构成等比数列的前三项，所以，即，解之可得，或（合去），所以，即得数列是以3为首项，2为公差的筝整数列，故可得，由题可得，，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得.（2）设，则①，在上式两边同时乘以2可得，，②.①-②可得，，即得.22.【答案】解：（1）当时，，则，令，解得，当时，，当时，，