2.3-直线-平面垂直的判定及其性质

【复习回忆】1.

线面垂直的定义假设直线l垂直平面a内的任意一直线,那么叫l⊥a.应用:假设l⊥a,那么l垂直平面a内的任意一直线.l⊥a,m

a,

l⊥m.

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labal⊥a,l⊥b,a

a,b

a,a∩b,⇒

l⊥a.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直.【复习回忆】【复习回忆】1.

直线和平面所成的角(1)平面的斜线与平面所成的角斜线与射影的夹角(锐角).(2)平面的垂线与平面所成的角为90.(3)平面的平行线或在平面内的直线与平面所成的角为0.【复习回忆】2.求线面角的要点(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含角的三角形,用三角函数求解.

例2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D求线面角的要点:(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含线面角的三角形,O通常构造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)假设PA=PB=PC,∠C=90,那么O是AB边的.(2)假设PA=PB=PC,那么O是△ABC的心.(3)假设PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,那么O是△ABC的心.ABCPOa解:(1)如图,PO⊥a,那么∠POA=∠POB=∠POC=90,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)假设PA=PB=PC,∠C=90,那么O是AB边的.(2)假设PA=PB=PC,那么O是△ABC的心.(3)假设PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,那么O是△ABC的心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中点到三角形三顶点的距离相等外ABCP的点是三角形的外心.2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)假设PA=PB=PC,∠C=90,那么O是AB边的.(2)假设PA=PB=PC,那么O是△ABC的心.(3)假设PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,那么O是△ABC的心.Oa解:(3)中点外由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,

PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,

BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂ABCP2.3.2平面与平面垂直的判定1.两直线所成角的取值范围：AB

1O3.平面的斜线和平面所成的角的取值范围：2.直线和平面所成角的取值范围：复习回忆[0o,90o][0o,90o]〔0o,90o〕1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角〔或直角〕叫做异面直线所成的角。3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面二面角1半平面定义平面的一条直线把平面分为两局部，其中的每一部分都叫做一个半平面。半平面:αlαl2．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为

、

的二面角记为

-l-

．l

l

AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二面角的认识你从图中看出了二面角的几种写法?⑴平卧式：⑵直立式：AB

ABl

lAB

l3．画二面角怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？4．二面角的大小l

在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．那么∠AOB叫做二面角-l-的平面角怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？OBAl

4．二面角的大小在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．那么∠AOB叫做二面角-l-的平面角怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？OO1BAB1l

A14．二面角的大小∠AOB的大小一定．

二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个面重合：0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；4．二面角的大小③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10

lOAB

AOB二面角的平面角哪个对?怎么画才对?1.定义法

根据定义作出来2.垂面法

作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到

lγABO12

lOAB3.垂线法二面角的平面角的作法AO

lD归纳：求二面角大小的步骤为：〔1〕找出或作出二面角的平面角；〔2〕证明其符合定义(垂直于棱)；〔3〕计算.问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？5.平面与平面垂直

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面

与

垂直，记作

⊥

.

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜测：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：

ABCD线面垂直面面垂直线线垂直例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

证明:设⊙O平面为α作业：1A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACBE证明:(1)在△ABC和△ADC中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，于是CB=CD.∵E是等腰△ABD和△CBD的底边BD的中点，∴BD⊥AE，BD⊥EC.∴BD⊥平面AEC，BD平面ABD∴平面AEC⊥平面ABD，练习(补充).PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.(1)假设l⊥PA,求证：l⊥QA;(2)假设l⊥QA,求证：l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.假设l⊥PA,

l⊥平面PQA.QA

平面PQA,

l⊥QA.练习(补充).PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.(1)假设l⊥PA,求证:l⊥QA;(2)假设l⊥QA,求证:l⊥PA.alPQA证明:(2)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.假设l⊥QA,

l⊥平面PQA.PA

平面PQA,

l⊥PA.