医用高等数学-线性代数基础

医用高等数学08-01-01第八章线性代数基础医用高等数学08-01-02最简单的方程——一元一次方程ax=b(a

0)进一步演化为：（2）增加未知数及方程的个数。——线性方程组（1）提高未知数的幂次；——高次方程医用高等数学08-01-03n

个未知数，m

个方程医用高等数学08-01-04线性代数是处理有限维线性问题的代数分支。医用高等数学08-01-05第一节行列式一、行列式的定义二、行列式的性质三、克拉默法则医用高等数学08-01-06二元线性方程组医用高等数学08-01-07医用高等数学08-01-08二阶行列式主对角线

次对角线+

其中a11,a12,a21,a22

称为行列式的元素，而上式的右端称为行列式的展开式。医用高等数学08-01-09对角线法则二阶行列式等于它主对角线上两元素的乘积减去次对角线上两元素的乘积，这样的运算法则称为对角线法则。医用高等数学08-01-10则二元线性方程组的解可记为医用高等数学08-01-11二元线性方程组的解系数行列式二元线性方程组医用高等数学08-01-12未知数的系数组成的的二阶行列式称为上述方程组的系数行列式。例解线性方程组医用高等数学08-01-13三元线性方程组医用高等数学08-01-14医用高等数学08-01-15三阶行列式按第一行的展开式

余子式(cofactor)

在三阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的二阶行列式，叫做元素aij的余子式，记作Mij，又记Aij=(1)i+jMij称Aij为元素aij的代数余子式(algebraiccofactor)。医用高等数学08-01-16

三阶行列式等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=a11A11+a12A12+a13A13医用高等数学08-01-17例按第一行展开计算三阶行列式医用高等数学08-01-18主对角线

次对角线+_医用高等数学08-01-19三阶行列式的对角线法则+_医用高等数学08-01-20三阶行列式的对角线法则主对角线

次对角线例利用对角线法则计算三阶行列式医用高等数学08-01-21医用高等数学08-01-22注对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。课堂讨论题当x取何值时，行列式医用高等数学08-01-23n

阶行列式(determinant)

用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号医用高等数学08-01-24称为n

阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，简记为|aij|。余子式(cofactor)

在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n

1阶行列式，叫做元素aij的余子式，记作Mij，又记Aij=(1)i+jMij称Aij为元素aij的代数余子式(algebraiccofactor)。医用高等数学08-01-25例求四阶行列式中元素a12和a33的余子式和代数余子式。医用高等数学08-01-26课堂讨论题求下列行列式中元素2和

2的代数余子式。医用高等数学08-01-27n

阶行列式的归纳定义当n=2时D=a11a22

a12a21当n>2时，D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n医用高等数学08-01-28例计算四阶行列式医用高等数学08-01-29转置行列式

行列式D

的行列互换得到的行列式DT

称为原行列式的转置行列式。医用高等数学08-01-30记性质1

将行列式转置，行列式的值不变，即DT=D。医用高等数学08-01-31注行列式的所有性质凡是对行成立的，对列也同样成立。即行列式中行与列具有同等的地位。因此，以下各性质的叙述仅涉及行。医用高等数学08-01-32性质2

交换行列式的任意两行，行列式的值变号。即医用高等数学08-01-33性质3

如果行列式中有两行元素对应相等，则此行列式的值为零。医用高等数学08-01-34性质4

行列式的某行各元素都乘以常数k，等于将行列式乘以k

。医用高等数学08-01-35推论1

如果行列式中某行各元素都是零，那么这个行列式的值等于零。医用高等数学08-01-36推论2

如果行列式中有两行的对应元素成比例，则此行列式的值为零。医用高等数学08-01-37推论3

如果行列式中某行的所有元素有公因子，则公因子可以提取到行列式的外面。医用高等数学08-01-38性质5

如果行列式中某行的各元素都可以表示成两项之和，则此行列式可以写成两个行列式的和。即有医用高等数学08-01-39推论如果行列式中某行各元素都可以表示成m（m

为大于2的整数）项之和，则此行列式可以写成m

个行列式的和。医用高等数学08-01-40性质6

将行列式中某行各元素乘以同一常数后加到另一行对应元素上，行列式的值不变。医用高等数学08-01-41性质7

行列式D

等于它任何一行各个元素与它们相应的代数余子式乘积的和。即医用高等数学08-01-42D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)

上三角行列式

若在主对角线以下的元素都为零，则称这样的行列式为上三角行列式。医用高等数学08-01-43下三角行列式

若在主对角线以上的元素都为零，则称这样的行列式为下三角行列式。医用高等数学08-01-44定理上三角行列式等于主对角线上各元素的乘积。即医用高等数学08-01-45定理

下三角行列式等于主对角线上各元素的乘积。即医用高等数学08-01-46

通常，用ri

rj

表示第i行与第j行互换；用kri表示将第i

行的元素乘以k；用+kri

rj表示将第i

行的元素乘以k

加到第j

行的对应元素上。医用高等数学08-01-47

如果化简步骤是对列进行的，上述的表示法中的字母r

换成c。例计算下列行列式的值。医用高等数学08-01-48例计算下列行列式的值。医用高等数学08-01-49例计算下列行列式的值。医用高等数学08-01-50课堂讨论题计算下列行列式的值。医用高等数学08-01-51课堂讨论：求方程的根二元线性方程组医用高等数学08-01-52三元线性方程组医用高等数学08-01-53

考虑含有n个未知数，n个线性方程的方程组解的情况。医用高等数学08-01-54克拉默法则

如果线性方程组医用高等数学08-01-55的系数行列式D

不等于零，即医用高等数学08-01-56则，方程组有唯一解

其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D

中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。即医用高等数学08-01-57j

列例用克兰姆法则解下列方程组医用高等数学08-01-58注（1）克拉默法则只有在D0时才能应用。

（2）克拉默法则有重大的理论价值。医用高等数学08-01-63课堂讨论题讨论当为何值时，线性方程组有唯一解，并求其解齐次方程组线性方程组医用高等数学08-01-64右端的常数项全为零时，称为齐次方程组。非齐次方程组

线性方程组医用高等数学08-01-65右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，称为非齐次方程组。对齐次线性方程组xi=0(i=1,2,…,n)一定是它的解，这个解叫做齐次方程组的零解。如果有一组不全为零的解是齐次方程组的解，则它叫做齐次方程组的非零解。医用高等数学