第二章-物体几何要素的投影

第二章-物体几何要素的投影第一页，共83页。投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法2.1投影法的基本知识一、投影法

投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法叫投影法。所得图形叫投影，选定的平面叫投影面。二、投影法分类画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图第一页第二页，共83页。

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。不适于绘制机械图样。优点：直观性好、立体感强，适于绘制建筑物的透视图投影特性:中心投影法第二页第三页，共83页。第三页第四页，共83页。斜角投影法投影特性：投影大小与物体和投影面之间的距离无关;度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。直角（正）投影法平行投影法第四页第五页，共83页。三种投影法的比较：第五页第六页，共83页。三、正投影的基本特性

（1）平行性。

空间平行两直线，在其同一投影面上的投影一定相互平行。（2）从属性。

点在直线（或平面）上，则该点投影一定在直线（或平面）的同面投影上（3）定比性。

点分割线段之比投影后该比例不变；空间平等的两线段之比投影后该比例不变第六页第七页，共83页。

（4）不变性。

当平面或直线与投影面平行时，其投影反映实形(或实长)，这种投影特性称为不变性。如:P、AB（5）积聚性。

当平面或直线与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一条线或一个点，这种投影特性称为积聚性。如：面B、线CD

（6）类似性（形）。

当平面或直线与投影面倾斜时,其投影的面积变小或长度变短，但投影的形状仍与原来形状类似,这种投影特性称为类似性。如：面R

第七页第八页，共83页。注意：（1)投影不等于影子（2)仅有一个投影不能准确、真实地表达物体的形状。第八页第九页，共83页。

Pb

●●AP解决方法：采用三面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、

点在三投影面体系中的投影a

●2.2点的投影点的投影仍为点第九页第十页，共83页。1.三投影面体系以三个相互垂直的平面作为投影面，便组成了三投影面的体系。正平面V：正立放置，即正立投影面水平面H：水平放置，即水平投影面侧平面W：侧立放置，即侧立投影面三个面的交点为投影原点O，V与H面的交线为OX投影轴，V与W面的交线为OZ投影轴，H与W面的交线为OY投影轴，如图所示。HWVOXZY第十页第十一页，共83页。两种投影体系的比较第三角画法也是以正投影法为主，与第一角的区别在于观察者、投影面和物体三者之间的相对位置关系不同。

第一角画法是将物体置于第一角内，物体在人与投影面之间，保持“人—物体—投影面”的相互位置关系。而第三角画法是将物体置于第三分角内，投影面在人与物体之间，保持“人—投影面—物体”的位置关系。假想投影面是透明的，是一种透视效果。第十一页第十二页，共83页。WHVOXa

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●ZY2.点的三面投影第十二页第十三页，共83页。WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动aaZaa

yayaXYHYWO

●●az●x投影面展开第十三页第十四页，共83页。画图时，不必画出投影面的边框线和投影轴上的ax、ayH、ayW、az；

其中W面上的一段垂直OYW，H面上的一段垂直OYH，中间可用折线、45。斜线或以O为圆心的圆弧联系起来。●Zaa

XYHYW

●a●xaazyaayOVHW第十四页第十五页，共83页。将三投影面体系看直角坐标系，空间点A的位置用三个坐标（XA、YA、ZA）表示。3.点的投影与直角坐标的关系●●●●XYZOVHWA(XA,YA,ZA)aa

a

xaaz●●YZaza

(YA,ZA)XYaYWOa(XA,YA)axaYHa

(XA,ZA)●aYxyzAa

=oax=aax=a

az=YAAa=oaz=a

ax=a

ay=ZAAa

=oax=aay=

a

az=XA可知：a由XA、YA确定a

由XA、ZA确定a

由YA、ZA确定第十五页第十六页，共83页。4.点的三面投影特性1.a

a⊥OX轴3.aayH

⊥OYH,

a

ayW⊥OYW

●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYayWOaaxayHa

●2.a

a

⊥OZ轴（1）点的投影连线垂直于投影轴第十六页第十七页，共83页。aax=a

az=YA

=A到V面的距离a

ax=a

ay=ZA＝A到H面的距离aay=a

az=XA＝A到W面的距离aaZaa

yayaXYH

YWO

●●az●x（2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也等于该点到相邻投影面的距离:根据点的投影特性，由点的任意两个投影，即可确定点的3个坐标，并求出第3个投影；或由空间坐标确定点的三面投影第十七页第十八页，共83页。5.特殊位置点的投影（1）投影面上的点有一个坐标为零，其在该投影面上的投影与该点重合，另两个投影在相应的投影轴上（如点B、C）。（2）投影轴上的点有两个坐标为零，其在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，另一个投影在原点O（如点D）。（3）处于原点的点，三个投影都与原点重合，坐标为（0,0,0）第十八页第十九页，共83页。1、点的投影连线垂直于相应的投影轴。2、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。小结：Zaa

XYH

YWO

●●a●xaazyaayX●●●●Z●●●●YOVHWAaa

a

xaazay第十九页第二十页，共83页。c

例1已知点C的两个投影c

和c

，求作其水平投影c。●c

●ccz通过作45°转宽线使c

cz=ccxXZYHYwcywcyHo●cx第二十页第二十一页，共83页。●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一解法二a

●例2 已知点的两个投影，求第三投影。XoYHYwZXYwZYHo第二十一页第二十二页，共83页。练习：1.已知点A

的两面投影（H面、W面）求点A

的第三面投影；2.已知点B的坐标为（25，20，30），求点B

的三面投影。第二十二页第二十三页，共83页。两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x

坐标大的在左；y

坐标大的在前；z坐标大的在上。二、两点的相对位置点A在点B的左前上方。第二十三页第二十四页，共83页。例：如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。作图步骤：

1)在a′左方12mm，上方8mm处确定b′；

2)作b′b⊥OX，且在a前10mm处确定b；

3)按投影关系求得b″

第二十四页第二十五页，共83页。

空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。A、C为V面的重影点（被挡的加括号）H面重影点，上者可见（上遮下）V面重影点，前者可见（前遮后）W面重影点，左者可见（左遮右）重影点第二十五页第二十六页，共83页。练习：

习题集P13

2.

习题集P14

6.第二十六页第二十七页，共83页。aa

a

b

b

b●●●●●●

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。一、直线及直线上点的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性线段平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB

反映实形线段倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=Abcosα类似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●2.3直线的投影YWYHZXO第二十七页第二十八页，共83页。由正投影的基本特性可知：（1）直线的投影一般仍为直线：（2）直线上点的投影，必在直线的同名投影上；C∈AB，则有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。即，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。在图中，C点在直线AB上，而D、E两点均不满足上述条件，所以都不在AB直线上。

第二十八页第二十九页，共83页。◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。并将线段的同面投影分割成与空间相同的比例。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理XO（3）直线上点分割直线段之比等于其投影之比。第二十九页第三十页，共83页。点C不在直线AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●点C在直线AB上例1 判断点C是否在线段AB上。XOXO第三十页第三十一页，共83页。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。方法二：应用定比定理abka

b

k

●●例2 判断点K是否在线段AB上。YHXZOYW第三十一页第三十二页，共83页。例2－1（P30）第三十二页第三十三页，共83页。投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）统称特殊位置直线垂直于某一投影面一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线二、三投影面体系中各种位置直线的投影特性第三十三页第三十四页，共83页。投影特性：①三个投影都缩短，且都倾斜于投影轴。

②都不反映空间线段的实长及与三个投影面的真实倾角。1.一般位置直线第三十四页第三十五页，共83页。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

①在所平行的投影面上的投影反映实长，该投影与投影轴的夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。②另两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度小于实长。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α；与V面的角:β;与W面的夹角:γ。实长实长实长βγααβba

aa

b

b

2.投影面平行线YHYWXZOYHYWZOXYHYWZOX第三十五页第三十六页，共83页。一投影反映实长,另两投影平行投影轴第三十六页第三十七页，共83页。铅垂线正垂线侧垂线②另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且长度反映空间线段的实长。①在所垂直的投影面上，投影积聚为一点。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)3.投影面垂直线YHYWXZOYHYWXZOYHYWXZO第三十七页第三十八页，共83页。一投影具有积聚性,另两投影垂直投影轴且为实长第三十八页第三十九页，共83页。AB、BC为水平线；AC为侧垂线；SB为侧平线；SA、SC为一般位置直线

练习1：判断下列立体中的AB、BC、AC、SA、SB、SC线段属于那类线段。第三十九页第四十页，共83页。AB为正平线；AC为正垂线；AD为铅垂线

练习2：判断线段AB、AC和AD属于那类线段第四十页第四十一页，共83页。空间两直线的相对位置分为三种：（1）两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

三、两直线的相对位置XO平行相交交叉同面直线异面直线第四十一页第四十二页，共83页。abcdc

a

b

d

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①例1 判断图中两条直线是否平行。XO第四十二页第四十三页，共83页。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。②例2 判断图中两条直线是否平行YHXZOYW第四十三页第四十四页，共83页。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

判别方法：

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点（2）两直线相交XOXO第四十四页第四十五页，共83页。●●cabb

a

c

d

k

kd先作正面投影例 过点C作水平线CD与AB相交。XO第四十五页第四十六页，共83页。d

b

a

abcdc

XO1

(2

)3(4)投影特性：同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。123

4

●●两直线相交吗？（3）两直线交叉●●练习：习题集P17，2第四十六页第四十七页，共83页。四、一边平行于投影面的直角的投影直角投影定理：1.空间两直线成直角（相交或交叉），若两边都与某投影面平行，则在该投影面的投影成直角；2.若两边都与某投影面倾斜，则在该投影面上的投影不是直角；3.若其中一边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影仍是直角。反之，若相交（包括交叉）两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中一条为该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线。见P36图2－14第四十七页第四十八页，共83页。ABVHbb

a

A0B0αZB-ZAβYB-YAZB-ZAa′b′abα实长直角三角形法：

利用一般位置直线的投影求作实长和倾角的方法第四十八页第四十九页，共83页。

即：以直线在某一投影面上的投影长为一直角边，以直线两端点与这个投影面的距离差为另一直角边，形成的直角三角形的斜边是直线的实长，投影长与斜边的夹角就是直线对这个投影面的倾角。第四十九页第五十页，共83页。

|zA-zB|ABABbb

aa

CXO

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab对Ｈ面倾角和实长第五十页第五十一页，共83页。ABbb

aa

CXO|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

|YA-YB|AB

|YA-YB|

对Ｖ面倾角与实长第五十一页第五十二页，共83页。XZYOABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

对Ｗ面倾角与实长第五十二页第五十三页，共83页。例：求线段CD的实长及β角cdc′d′Yd-Yc实长βdcc′d′实长第五十三页第五十四页，共83页。例2－2

试过点A作一等腰直角三角形ABC。AB、BC为直角边，BC属于已知正平线MN。第五十四页第五十五页，共83页。直角三角形法要点2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知道其中二个就可以求其它二个1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系α角——水平投影——z坐标差——线段实长β角——正面投影——y坐标差——线段实长γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错第五十五页第五十六页，共83页。一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形2.4平面的投影XOXOXOXOXO第五十六页第五十七页，共83页。平行垂直倾斜实形性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性二、三投影面体系中各种位置平面的投影特性投影特性平面平行投影面——投影反映实形平面垂直投影面——投影积聚成直线平面倾斜投影面——投影类似原平面第五十七页第五十八页，共83页。平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面平面在三投影面体系中的投影特性第五十八页第五十九页，共83页。a

b

c

a

c

b

abc三个投影都类似，且面积缩小，不反映平面对投影面的倾角。投影特性：1.一般位置平面YHXZOYW*无论平面处于什么位置，三个投影中至少有一个是线框。而这一线框表示物体上表面的投影。第五十九页第六十页，共83页。abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。γβ2.投影面垂直面YHXZOYW第六十页第六十一页，共83页。

在垂直的投影面上的投影积聚成与投影轴倾斜的直线；另两个投影面上的投影为空间平面的类似形。正垂面:垂直V面铅垂面:垂直H面侧垂面:垂直W面各种位置垂面的投影特点第六十一页第六十二页，共83页。a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。3.投影面平行面YHXZOYW第六十二页第六十三页，共83页。

平行投影面上的投影反映实形；另两投影面上的投影积聚为直线，且平行于投影轴。各种位置平行面的投影特点正平面:平行V面水平面:平行H面侧平面:平行V面第六十三页第六十四页，共83页。判断直线在平面内的方法定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。三、平面内的点和直线两点定一线一点一线定一线（1）平面上取任意直线：第六十四页第六十五页，共83页。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d解法一解法二根据定理二根据定理一例1已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。XOXO第六十五页第六十六页，共83页。n

m

nm10c

a

b

cab例2在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。

XO第六十六页第六十七页，共83页。先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1 已知点K在平面ABC上，求点K的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解（2）平面上取点XOXO第六十七页第六十八页，共83页。bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc解法一解法二例2

已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。XOXO见P41例2－5第六十八页第六十九页，共83页。2.5直线与平面、两平面的相对位置一、平行问题1.若直线平行某平面内一直线，则直线与该平面平行。这是作直线平行于平面或判断直线是否平行于平面的依据。(1)直线与一般面相互平行HGCDAB平行于平面PEF平行于平面P第六十九页第七十页，共83页。例.过已知点K作一水平线平行于已