2021年中考数学复习-最优方案问题(解析版)

最优方案问题【典例1】某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解题思路】根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论.【解答过程】设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意，得2x+3X3x=550，/.x=50.经检验，符合题意，3x=150元.即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是50元和150元；设购买温馨提示牌y个(y为正整数)，则垃圾箱为(100-y)个，根据题意，得100-¥>4850v+150(10D-v)^OOOD・•・50WyW52.•・•y为正整数，・•・y为50,51,52，共3种方案.即温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个．根据题意，费用为50y+150(100—y)=—100y+15000,当y=52时，所需资金最少，最少是9800元.【总结归纳】本例题属于经济类方案设计问题，用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的.此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键.【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)3042租金/(元/辆)300400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师.参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为辆；你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.【解题思路】设出老师有X名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；根据汽车总数不能小于300/42=50/7(取整为8)辆，即可求出；⑶设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为(8—x)辆，由题意，得400x+300(8—x)W3100，得x的取值范围，分析得出即可.【解答过程】(1)设老师有x名，学生有y名.根据题意，列方程组为17丸=厂口■r17丸=厂口■r解得玄=1吕t=2S4故老师有故老师有16名，学生有284名.(2)J每辆客车上至少要有2名老师,・•・汽车总数不能大于8辆.又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于30050"42=~7(取整为8)辆,综上可知汽车总数为8辆.故答案为&设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为(8—x)辆，•・•车总费用不超过3100元，・•・400x+300(8—x)W3100，解得xW7.为使300名师生都有座，・•・42x+30(8—x)三300，解得x三5.5WxW7(x为整数).・•・共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元;方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆.【典例3】有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：万案一方案二小红发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案一，小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2二a2+2ab+b2=(a+b))请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.【解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题.【解答过程】根据由题意，得万案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b))〉一方案三:屮I［住+@+占妙|［空+仗+巧0=a*+ab+—b;+ab+—b222=a2+2ab+b2=(a+b)2【总结归纳】本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程.【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图4-1所示.排撓单桥(元)02060批好(血)4-1请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在图4-2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；圭UW〔元)100fW呃如也巻「心4-2经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图4-3所示.该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大•E■斗塢暫ci£)4-3【解答过程】图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发.根据题意，得切(20^60)w=■4??(川乂0}函数图象如图4-4所示.■佥曲*畑□mg呦O1«i4-4由函数图象可知，资金金额满足240<wW300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果•(3)解法一：设当日零售价为x元，由函数图象可得日最高销量

n=320—40x,当n>60时，x<6.5.根据题意，销售利润为y=(x-4)(320-40x)=40(x-4)(8-x)=40[-(x-6)2+4]从而x=6时，y最大值二160，此时n二80.即销售商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元•解法二：设日最高销售量为xkg(x>60).则由图4-3可知日零售价p满足x=320-40p.则p=(320-x)/40.销售利润320-x320-x401=-40(：x-80)2+160从而x=80时，y最大值二160，此时p=6•即销售商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元•【典例5】某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件,现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与X的函数关系式，并求出自变量X的取值范围；当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=(售价－进价)X销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.【解析】：(1)y=(60－x－40)(300+20x)=6000+400x—300x—20x2=—20x2+100x+6000自变量x的取值范围是0WXW20.(2)Ta=—20〈0,・・・函数有最大值,b100b1002a2x(-20)_2.5，24x(-20)x6000-10024ac-b2__612544X(-20)・•.当x=2.5时，y的最大值是6125.・当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m,宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A•兰花；B•菊花；C•月季；D•牵牛花.求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长X之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？【答案】：当x_15m时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2.【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】:(1)由题意知，B场地宽为(30—x)my_x(30一x)_-x2+30x，自变量x的取值范围为0<x<30(2)y_-x2+30x_-(x-15)2+225当x_15m时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2.

点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖(如图1(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上，△CFE’AABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.(1)判断图⑵中四边形EFGH是何形状，并说明理由；⑵E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省?ADFBEC(1)(2)图1【答案】(1)四边形EFGH是正方形.(2)当CE=CF=0.1米时总费用最省.ADFBEC(1)(2)图1【分析】：(1)通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件,由图1⑵可得△CEF是等腰直角三角形,即可说明四边形EFGH是正方形;(2)设CE=x，则BE=0.4—x,每块地砖的费用为y,分别求出厶CFE、AABE和四边形AEFD的面积，再根据价格列出y与x的函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。【解析】：(1)四边形EFGH是正方形.图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE=CF=CG=CH..•.△CEF、ACFG、ACGH、△CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE,ZFEH=ZEFG=ZGHE=ZFGH=90°，因此四边形EFGH是正方形.⑵设CE=x,贝yBE=0.4—x,每块地砖的费用为y,那么y=1x2X30+1X0.4X(0.4-x)X