等式性质与不等式性质省赛一等奖

21等式性质与不等式性质课标阐释思维脉络1.会用不等式组表示不等关系.(数学抽象)2.能够用作差法比较两个数或式的大小.(数学运算)3.掌握等式的性质.(数学抽象)4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.(数学抽象)5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了,一名女演员双手抚摸着短裙,眼里闪烁着倔强和自信的目光只见她踮起脚尖,一个优雅的旋转,轻盈地提着舞裙,飘然来到台上,在追光灯下飘起舞裙,那飘洒翩跹的舞姿,把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢因为一般的人,激趣诱思知识点拨知识点一、不等式与不等关系1不等式的定义所含的两个要点①不等符号>,<,≥,≤或≠②所表示的关系是不等关系2不等式中的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言>

≥<

≤≤≥≥≤激趣诱思知识点拨名师点析不等式a≥b或a≤b的含义1不等式a≥b含义是指“a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确2不等式a≤b含义是指“a<b,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确微练习某一路段限速40m/h,它是指司机在该路段行驶时,应使汽车的速度v单位:m/h不超过40m/h,写成不等式就是

答案:v≤40激趣诱思知识点拨知识点二、实数的大小比较比较实数a,b的大小的依据激趣诱思知识点拨名师点析比较实数式大小的方法

作差法作商法依据a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=ba>0,b>0且

>1⇒a>b;a>0,b>0且

<1⇒a<b;a>0,b>0且

=1⇒a=b应用范围数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式同号两数比较大小激趣诱思知识点拨微思考如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢提示:通常是通过判断它们的差a-b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小微练习若为实数,则2-1与2-5的大小关系是

解析:∵2-1-2-5=2-24=-123>0,∴2-1>2-5答案:2-1>2-5激趣诱思知识点拨知识点三、重要不等式∀a,b∈R,a2b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立微思考∀a,b∈R,a2b2与2ab大小有何关系提示:因为a2b2-2ab=a-b2≥0恒成立,所以a2b2≥2ab激趣诱思知识点拨知识点四、不等式的性质等式性质与不等式性质的比较等式的性质不等式的性质a=b⇔b=aa>b⇔b<aa=b,b=c⇒a=ca>b,b>c⇒a>ca=b⇔a+c=b+ca>b⇔a+c>b+ca=b⇒ac=bca>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bca=b,c=d⇒a+c=b+da>b,c>d⇒a+c>b+da=b,c=d⇒ac=bda>b>0,c>d>0⇒ac>bda=b≥0⇒an=bna>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)激趣诱思知识点拨名师点析1对不等式性质的理解1性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识2性质3即可加性是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据3性质4即可乘性在使用中要特别注意研究“乘数的符号”4性质5即同向可加性,即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”5性质6和性质7即同向同正可乘性,可乘方性,即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式6性质1和性质3是双向推导,其他是“单向”推导激趣诱思知识点拨2不等式性质的适用条件1在应用不等式的性质2时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如a≤b,b<c,则a<c当两个不等式都带等号时,要特别注意两个不等式同时取等号的条件是否具备,否则等号不能传递过去2在应用性质4时,要特别注意“乘数c的符号”例如当c≠0时,若a>b,则ac2>bc2;若无c≠0这个条件,若a>b,则ac2>bc2就是错误的3若a>b>0,则an>bn>0n∈N,n≥2的成立条件是“n为大于等于2的自然数,a>b>0”假如去掉n为大于等于2的自然数这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-1>2-1,即的错误结论,假如去掉b>0这个条件,取a=3,b=-4,n=2,那么就会出现32>-42的错误结论不等式相乘时,不等式不仅要同向,而且还要各数都为正数激趣诱思知识点拨微思考你能写出等式的基本性质吗提示:1对称性:如果a=b,那么b=a;2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;3加减性:如果a=b,那么a±c=b±c;4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;5可除性:如果a=b,c≠0,那么激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”1在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立2同向不等式具有可加性和可乘性3若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数答案:1×2×3×4×5×激趣诱思知识点拨微练习若a>b,则下列各式正确的是Aa-2>b-2>2-b>-2b Da2>b2解析:因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B,C错误;又取a=0,b=-1时,a>b,但a2<b2,D错误,故选A答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测用不等式组表示不等关系例1用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为m试用不等式表示其中的不等关系分析:表示出矩形菜园的另一边长,利用面积公式表示面积,要注意的范围探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用不等式表示不等关系的注意点在用不等式表示实际问题时,一定要注意自变量的取值范围探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练11某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩超过45分,用不等式组表示就是2一辆汽车原来每天行驶m,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19m,那么在8天内它的行程将超过2200m,用不等式表示为

探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:1由题意,得不低于95,即≥95,y高于380,即y>380,超过45,即>45,故选D2因为该汽车每天行驶的路程比原来多19m,所以汽车每天行驶的路程为19m,则在8天内它的行程为819m,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2200m”可以用不等式819>2200来表示答案:1D2819>2200探究一探究二探究三素养形成当堂检测实数大小的比较例2比较下列各组中的两个代数式的大小1223与2,∈R;分析:利用作差法进行比较解第2小题时要注意对实数a分类讨论探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:1作差;2变形变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;3定号,即确定差的符号;4下结论,写出两个代数式的大小关系探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测不等式性质的应用1应用不等式性质判断命题真假例3对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:1若a>b,则ac2>bc2;2若a<b<0,则a2>ab>b2;分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的性质,经过合理的逻辑推理即可探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2应用不等式性质证明不等式∵a>b>0,c<d<0,∴ab>0,cd<0,b-a<0,c-d<0∴ab-cd>0,b-ac-d<0∵e<0,∴e>0探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证2对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测3利用不等式性质求取值范围例5已知1<a<4,2<b<8,试求2a3b,-b与a-b的取值范围分析:先根据a,b的取值范围得出2a,3b的取值范围,再根据同向不等式的可加性求出2a3b与a-b的取值范围解:∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24∴8<2a3b<32∵2<b<8,∴-8<-b<-2又∵1<a<4,∴1-8<a-b<4-2,即-7<a-b<3b的取值范围是{2a3b|8<2a3b<32},a-b的取值范围是{a-b|-7<a-b<2}反思感悟利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用不等式求取值范围的常用方法典例已知1≤a-b≤2,2≤ab≤4,求4a-2b的取值范围解:方法一待定系数法设4a-2b=ma-bnab,则4a-2b=mna-mnb,所以4a-2b=3a-bab因为1≤a-b≤2,所以3≤3a-b≤6又2≤ab≤4,所以5≤3a-bab≤10即{4a-2b|5≤4a-2b≤10}探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法二换元法所以4a-2b=2mn-n-m=3mn,而1≤m=a-b≤2,2≤n=ab≤4,所以{4a-2b|5≤4a-2b≤10}方法点睛求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容解题时应将条件式视为一个整体,并用其表示所求范围的量,同时注意取等号的条件是否具备切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围,再去求由此构成的代数式的取值范围,这往往会扩大代数式的范围探究一探究二探究三素养形成当堂检测1下列说法正确的是不高于2000元可表示为“<2000”,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“>y”可表示为“≥a”可表示为“y≥a”答案:C探究一探究二探究三素