平面向量知识点复习练习

#/72、已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=AB,则点P与厶ABC的关系为()A.P在厶ABC内部B.P在厶ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点(2)坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，贝ij：1122^①向量的加减法运算：a土b=(x土x,y土y)。1212配合练习20、已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AP=AB+XAC(XeR)，则当九=-时，点P在第一、三象限的角平分线上1A兀兀配合练习21、已知A(2,3),B(1,4),且—AB=(sinx,cosy)，x,ye(——,—),F=(2,—5),F=(3,1)，则合力23即一个向量的坐标等于表示这个配合练习F=(2,—5),F=(3,1)，则合力23即一个向量的坐标等于表示这个1F=F+F+F3的终点坐标是实数与向量的积：九a=X(x,y)=(九x,九y)。1111若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x—x,y—y),11222121向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。1一AD=3AB，则C、D的坐标分别是配合练习23、设A(2,3),B(AD=3AB，则C、D的坐标分别是平面向量数量积：方•b=xx+yy。■1212__配合练习24、已知向量a=(sinx，cosx),b=(sinx，sinx),c=(—1，0)。(1)兀■■3兀兀ff1若x=，求向量a、c的夹角；(2)若xU[—，—]，函数f(x)=Xa*b的最大值为歼,3842求九的值向量的模：|a|=x2+y2,a2=|aI2=x2+y2。距离的求法：转化为向量的数量积：|a|二fa•a=Jx2+y2配合练习25、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|a+3b|=两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，贝ijlAB1=J(x-x+(y-y。1122v2121配合练习26、在平面斜坐标系xOy中，ZxOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=x7+y^，其中彳込分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。若点P的斜坐标为(2，—2)，求P到O的距离丨POI；

7、向量的运算律：7、向量的运算律：(1)交换律：a+b=b+a,(2)结合律(xa)•b=x(a•b)=a•(xb)；(3)分配律：(九+p)a=Xa+|Ha,XCa)=(九p)a,a•b=b•a；—►1—►—A—A—A—►+b丿+c,a—b—c=a—配合练习27、下列命题中：①方-(牙—c)二方•牙一方•c:②方-(牙-c)=(方•方)•(?；③(方一方)2=|方|2—2I方I•I方I+Ib|2;④若方•方=0，则方=0或方=0；—►—>—►⑤若a•b=c•b,贝Ua=c；⑥a2=a2；⑦—==；⑧(a•b)2=a2•b2；a2a⑨(a—b)2=a2—2a•b+b2。其中正确的是提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”—fc-—b--»—*—*—b-不满足结合律，即a(b•c)丰(a•b)c，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：—H-—I-(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数九，使得b二Xa.实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入>0；当a与b异向时，入〈。。I入丨的大小由b及b的模确g定。因此，当b,b确定时，入的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中入IbI的几何意义。若a=(x,y),b=(x,y),贝J1122ff一一一一a//bOxy—xy=0o(a•b)2=(IaIIb1)2.1221fc.—>—>—>—>a〃bo(a•b)2=(IaIIb1)2配合练习28、若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x=时a与b共线且方向相同配合练习29、已矢口a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，贝Ux=配合练习30、设PA=(k,12),PB=(4,5)„PC=(10,k)，则k=时，A,B,C共线练习(04年XX卷.理6)已知点A(1,—2),若向量AB与7=(2,3)同向，丨AB1=2打3,则点B的坐标为.B(5,4)证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量平行9、向量垂直的充要条件：a丄bOa•b=0OIa+bI=Ia—bIoxx+yy=0.1212ABACABAC——+■)丄(-—-ABACABAC)。特别地(配合练习31、已知OA二(-1,2),OB二(3,m)，若OA丄OB，则m=配合练习32、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90。,则点B的坐标是—►―>>—>>配合练习33、已知n=(a,b),向量n丄m，且n=m，则m的坐标是(证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直线段的定比分点：配合练习34、若M(-3,-2),N(6,-1),且MP=—；丽，则点p的坐标为3配合练习35、已知A(a,0),B(3,2+a)，直线y=-ax与线段AB交于M，且AM=2MB，2则a等于向量中一些常用的结论：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；IIaI—Ib11<1a土b1<1aI+IbI，特别地，当a、、同向或有0OIa+b1=1aI+IbI—►—►—►____—>—►—IIaI—IbII=Ia—bI；当a、b反向或有0OIa—bI=IaI+IbI'IIaI—IbII=Ia+bI；当a、b不共飯戸IIaI—IbII<Ia土bI<IaI+IbI(这些和实数比较类似).在AABC中，①若A(x,y),B(x,y),C(x,y)，则其重心的坐标为112233(x+x+xy+y+y)I33丿配合练习36、若/ABC的三边的中点分别为(2，1)、(-3,4)、(-1，-1)，贝U/ABC的重心的坐标为—>1—»—»—*特别地PA+PB+PC=0op①PG=—(PA+PB+PC)o特别地PA+PB+PC=0opPA・PB=PB・PC=PC・PAoP为AABC的垂心；向量九(AB+AC)(九丰0)所在直线过AABC的内心(是ZBAC的角平分线所在IABIIACI直线)；(3)向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线o存在实数a.卩使得PA=aPB+卩PC且a+p=1.配合练习37、平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1),B(T,3)，若点C满足

OC=九OA+九OB，其中九，九eR且九+九=1，则点C的轨迹是121212巩固：1已知Ia|=2,ITb|=1,(a-T))帝=*2-1，则a与b夹角是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°2.若向量,且的夹角为30°,则等于()A・B・C・5D・33已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)・a=已知ai=1,Ibl=、2,(1)若a〃b,求