高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练七十二离散型随机变量的均值与方差

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练七十二离散型随机变量的均值与方差……30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为 ()A.1+a,4 B.1+a,4+aC.1,4 D.1,4+a【解析】选A.x1+x2+所以y1,y2,…,y10的均值为1+a,方差不变仍为4.2.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:分)的数学期望为()【解析】选A.由题意得X=0,1,2,××××0.5=0.2,所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9(分).3.一位篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望是2,则2a+1()A.323 B.283 C.143【解析】选D.由已知得3a+2b=2,所以2a+13b=12203+4当且仅当a=2b,即a=12,b=14.同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为X,则X的均值是 ()【解析】选B.抛掷一次,正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为C5225=则E(X)=80×5165.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.126125 B.65 C.168125【解析】选的分布列为X0123P2754368E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8二、填空题(每小题5分,共15分)6.一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球,其中白球的个数为ξ,则ξ的数学期望是________.

【解析】根据题意ξ=0,1,2,而P(ξ=0)=C62CP(ξ=1)=C61C41C102=所以E(ξ)=0×1545+1×2445+2×645=36答案:47.有10张火车票,其中3张是卧铺,其他是硬座,从这10张火车票中任取两张,用ξ表示取到卧铺的张数,则E(ξ)=________.

【解析】ξ服从超几何分布P(ξ=x)=C3所以P(ξ=0)=C72C102=2145=715,P(ξ=1)=C71C31C所以E(ξ)=0×715+1×715+2×115=9答案:38.某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务,若选出的男生人数为ξ,则ξ的方差D(ξ)=________.

【解析】从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务,选出的男生人数ξ可能为1,2,3,其中,P(ξ=1)=C41C22C63=15,P(ξ=2)=C42C21C63=35,P(ξ=3)=C43C20C63=答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·昆明模拟)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列.(2)求X的数学期望E(X).【解析】(1)X=3,4,5,6,P(X=3)=C53C93=5P(X=5)=C51C42C9所以X的分布列为:X3456P51051(2)X的数学期望E(X)=15+80+75+1242=9121=10.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率是23.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率.(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)=233=P(A2)=C32232P(A3)=C42232所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,甲队以3∶2胜利的概率为4(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=C421-2由题意,随机变量Χ的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(Χ=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=1627又P(Χ=1)=P(A3)=427,P(Χ=2)=P(A4)=4P(Χ=3)=1P(Χ=0)P(Χ=1)P(Χ=2)=327故Χ的分布列为X0123P16443所以E(Χ)=0×1627+1×427+2×427+3×3……20分钟40分1.(5分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)A.24181 B.26681 C.27481【解析】选B.依题意,知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分从而有P(X=2)=59,P(X=4)=49×59P(X=6)=492=故E(X)=2×59+4×2081+6×16812.(5分)有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的数学期望是 ()【解析】选的取值为6,9,12,相应的概率P(X=6)=C83C103=7P(X=12)=C81CE(X)=6×715+9×715+12×3.(5分)(2019·九江模拟)若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在一次试验发生的次数,则4D(【解析】选C.随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1p,从而E(ξ)=0×(1p)+1×p=p,D(ξ)=(0p)2×(1p)+(1p)2×p=pp2,4D(ξ)-1因为0<p<1,所以4p+1p≥24当4p=1p,p=12时,取“=所以当p=12时,44.(5分)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩,未击中9环或10环就以0环记.该运动员在练习时击中10环的概率为a,击中9环的概率为b,既未击中9环也未击中10环的概率为c(a,b,c∈[0,1)),如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环,则当10a+19b取最小值时A.111 B.211 C.【解析】选A.因为运动员射击一次击中环数的期望为9,所以有10a+9b=9,所以10a+19b==1990b当且仅当90ba=即a=9b.将其和10a+9b=9联立可解得a=911,b=1又因为a+b+c=1,所以c=1115.(10分)现有一个寻宝游戏,规则如下:在起点P处有甲、乙、丙三条封闭的单向线路,走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟.游戏主办方将宝物放置在乙线路上(参赛方并不知晓).开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序,若没有寻到宝物,重新回到起点后,再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝,直到寻到宝物并将其带回到P处,在这期间所花费的时间记为X(单位:分钟).(1)求X≤30的概率;(2)求X的分布列及数学期望E(X).【解析】设“走完甲线路寻到宝物”为事件A,“走完乙线路寻到宝物”为事件B,“走完丙线路寻到宝物”为事件C.(1)P(X≤30)=P(B)+P(AB)=13+13×12(2)X所有的取值分别是20,30,50,60.P(X=20)=P(B)=13P(X=30)=P(AB)=13×12=P(X=50)=P(CB)=13×12=P(X=60)=P(ACB)+P(CAB)=13×12+13×1X的分布列如下:X20305060P1111所以E(X)=20×13+30×16+50×16+606.(10分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X元.①依题意,得P(X=60)=C11C即顾客所获的奖励额为60元的概率为12②依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C32即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100P121X1的期望为E(X1)=20×16+60×23+100×X1