新高考数学二轮复习易错题专练易错点03 指数函数与对数函数及函数与方程（含解析）

易错点03指数函数与对数函数及函数与方程易错题【01】研究对数型函数忽略定义域研究函数SKIPIF1<0的性质，或求解与SKIPIF1<0有关的函数与方程及不等式问题，不少同学常因忽略SKIPIF1<0的隐含条件出现错误。易错题【02】不会利用中间量比较大小在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小，若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式(对数式)但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是SKIPIF1<0，有时也可借助SKIPIF1<0等中间量来比较大小.易错题【03】不会构造函数比较大小比较两个式子的大小，若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小。易错题【04】确定函数零点所在区间，或零点个数或已知函数零点情况求参数满足条件，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，故提醒同学们研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”。 01若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0的取值范围是【警示】本题出错的主要原因是忽略定义域，不会由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【问诊】因为由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，由复合函数单调性得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0。【叮嘱】研究对数型函数的性质，一定不要忽略真数大于零的限制。1.函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，求a的取值范围()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】令SKIPIF1<0，二次函数抛物线的对称轴方程为SKIPIF1<0，由复合函数的单调性可知，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解可得，SKIPIF1<0．故选C2．(2021湖北武汉市第一中学高三月考)函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围为()．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是减函数，要使得函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，只需SKIPIF1<0为减函数，且满足SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选C. 02(2019全国Ⅰ卷理T3)已知，则()A． B． C． D．【警示】比较指数式与对数式的大小要重视利用中间量比较大小。【答案】A【问诊】由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．【叮嘱】比较数与式的大小，当不能直接利用函数单调性时，要注意使用中间量。1.(2021新高考2卷T7)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列判断正确的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选C.2.(2020全国Ⅲ文T10)设SKIPIF1<0，则 ()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A． 03(2021全国卷乙卷理T12)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【警示】不会观察式子的结构通过构造函数求解。【答案】B【问诊】解法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理令SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．解法二：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则排除AD,结合选项BC，只需判断a,c的大小，故设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选B【叮嘱】比较几个复杂式子的大小，常通过构造函数，利用函数性质求解。1.(2020全国Ⅰ理T12)若SKIPIF1<0，则 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴C、D错误，故选B．2.(2020全国Ⅱ理T11)若SKIPIF1<0，则 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A正确，B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小不确定，故CD无法确定，故选A． 04(2018全国卷Ⅰ)已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0存在2个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【警示】不会利用图象求解，导致解题失败.【答案】C【问诊】函数SKIPIF1<0存在2个零点，即关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有2个不同的实根，即函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有2个交点，作出直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象，如图所示，由图可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选C．【叮嘱】求解与零点个数有关问题，常利用函数图象的直观性求解。1.(2021河南大学附属中学高三月考)定义在R上的奇函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则关于x的函数SKIPIF1<0的所有零点之和为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于函数为奇函数，所以作出函数图象如图所示，由图象可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有5个零点，其中有2个关于直线SKIPIF1<0对称，还有2个关于直线SKIPIF1<0对称，所以4个零点的和为零，第5个零点是直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0交点的横坐标，即方程SKIPIF1<0的解，解得SKIPIF1<0，故选C2.(2021天津市第四十七中学高三月考)已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(其中e是自然对数的底数)，若关于x的方程SKIPIF1<0恰有三个不等实根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意设SKIPIF1<0，根据方程SKIPIF1<0恰有三个不等实根，即SKIPIF1<0必有两个不相等的实根SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0或SKIPIF1<0有三个不等实根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，作出图象如图所示：那么SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，构造新函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.错1．(2021江苏省泰兴中学高三期中)已知a=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故选B．2．(2021山东烟台高三期中)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选D.3.(2020江西省信丰中学高三月考)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，内层函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在区间SKIPIF1<0上单调递减，而外层函数SKIPIF1<0在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因此，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选C.4．(2021河南高三月考)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选D．5.(2021黑龙江高三期中)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0时取等号)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0时取等号)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.故选D.6.(2021四川攀枝花高三月考)定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，给出如下四个结论：①SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0图象的对称轴为直线SKIPIF1<0；④方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个实数解，其中正确的结论个数是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的函数，作出函数SKIPIF1<0的图象如图所示：由图知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，根据周期性可得SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故①正确；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的函数，所以SKIPIF1<0，故②正确；由图象以及周期性可知：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的对称轴，所以SKIPIF1<0图象的对称轴为直线SKIPIF1<0，故③不正确；方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个实数解，可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象有SKIPIF1<0个交点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0无实根，当SKIPIF1<0时，由图知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象有SKIPIF1<0个交点，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象有SKIPIF1<0个交点，即方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个实数解，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象没有交点，故④不正确；所以①②正确，正确的有SKIPIF1<0个，故选B.7．(2021吉林·高三月考)已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不同实数根，则实数SKIPIF1<0的取值范围为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0最多有两个实根，若SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不同实数根，则SKIPIF1<0恰有三个实根，作出SKIPIF1<0的图象，如图由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0恒成立，综上所述：SKIPIF1<0，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选A.8．(多选题)已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是()A．若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0B．若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0C．若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为增函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】对于A，由题意知SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，由于当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0不恒成立，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以A正确；对于B，若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不为0，则函数SKIPIF1<0的最小值为4，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以B错误；对于C，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为增函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，且在SKIPIF1<0内的函数值为正，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以C正确；对于D，若SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以D不正确．故选AC．9.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0有两个不等实根，则下列选项正确的是()A．点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点D．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0