新高考数学二轮复习易错题专练易错点07 平面向量（含解析）

易错点07平面向量易错题【01】确定向量夹角时忽略向量的方向在判断两向量的夹角大小时,要注意把两向量平移到共起点,这样才不至于判断错误．特别要注意在△ABC中，SKIPIF1<0的夹角不是角B，而是角B的补角，SKIPIF1<0夹角是角B。易错题【02】不会通过建立坐标系把向量问题转化为代数问题平面向量中有很多与平面几何交汇的问题，当所给平面图形为等腰三角形、直角三角形、矩形、直角梯形时常通过建立坐标系，把平面向量问题转化为代数问题求解，特别是求平面向量有关的最值与范围问题，常通过建立坐标系，转化为函数求最值，或利用基本不等式求最值。另外若题中有互相垂直的单位向量，也可建立坐标系，利用向量的坐标运算把向量问题转化为代数问题。易错题【03】忽略向量共线致误在解决两向量夹角问题时,一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角⇔a·b>0且a,b不同向，特别提醒：不要忽略a,b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b<0且a,b不反向，特别提醒：不要忽略a,b不反向。易错题【04】对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0. 01已知等边△ABC的边长为1,则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________._______.【警示】本题出错主要原因是误以为向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))间的夹角均为60°.得出eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)的错误结论.【答案】SKIPIF1<0【问诊】eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CA,\s\up6(→))的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1,所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,2).同理得eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2).故eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2).【叮嘱】在判断两向量的夹角时,一定要注意向量的方向1．(2022届陕西省西安高三上学期月考)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选C2.在SKIPIF1<0中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足SKIPIF1<0,则科网SKIPIF1<0等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m((()A．SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0((((((((【答案】A【解析】由SKIPIF1<0知,P为△ABC的重心,根据向量的加法,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故选A. 02(2020届山东卷T7)已知SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正六边形SKIPIF1<0内的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是 A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【警示】本题主要失误原因是没有建立坐标系的意识，导致解题受阻。【答案】A【问诊】如图，建立平面直角坐标系SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【叮嘱】平面向量的坐标运算可把几何图形中的向量问题转化为代数问题求解。1、(2022届重庆市九龙坡区高三上学期期中)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题设，四边形SKIPIF1<0为矩形，构建以SKIPIF1<0为原点的直角坐标系，如下图，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选B 03已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．【警示】本题易错之处是误以为θ为锐角SKIPIF1<0cosθ>0，忽略共线的情况【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2))【问诊】∵θ为锐角,∴0<cosθ<1.又∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)),∴0<eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))且eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))≠1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋1>0，,2λ＋1≠\r(5)·\r(λ2＋1))),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2.))∴λ的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2)).【叮嘱】利用向量共线求参数的值或范围，要注意排除共线情况。1.(2022届河北省邢台市“五岳联盟”高三上学期12月联考)已知向量SKIPIF1<0，则下列说法不正确的是()A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为2C．SKIPIF1<0的最小值为1 D．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】D【解析】A选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A选项说法正确.B选项，若SKIPIF1<0，两边平方并化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B选项说法正确.C选项，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有最小值为SKIPIF1<0，C选项说法正确.D选项，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0，D选项说法不正确.故选D2.(多选题)(2022届福建省泉州高三上学期期中)已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法正确的是()A．若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角为锐角，则SKIPIF1<0【答案】BC【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A不正确；若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；若向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角为锐角,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角为锐角时SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故D不正确；故选BC 04给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0存在且唯一；(4)λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4【警示】本题出错主要原因是对平面向量基本定理理解不准确，导致判断失误【答案】A【问诊】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),当a,b均为零向量时SKIPIF1<0可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时SKIPIF1<0不存在,(3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.【叮嘱】注意平面向量基本定理中的基底是两个不共线的向量1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λSKIPIF1<0＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λSKIPIF1<0＝μSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线.其中错误的命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当SKIPIF1<0＝0时，不论λ为何值，λSKIPIF1<0＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λSKIPIF1<0＝μSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以是任意向量.故错误的命题有3个.故选D(2022届上海市嘉定区高三上学期质量检测)下列各组向量中.可以作为基底的是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，两向量共线，不能做基底，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，两向量共线，不能做基底，故SKIPIF1<0错误；故选SKIPIF1<0．错1．(2022届广东省江门市高三上学期调研)在边长为3的等边SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6【答案】D【解析】如图，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0.故选D2．(2022届四川省攀枝花市高三统一考试)在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题设，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选A3．(2021届宁夏中卫市高三联考)已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选D．4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是()A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，以圆心SKIPIF1<0为原点，直径SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值是2.故选A.5．(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)下列说法中正确的是()A．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0B．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可以作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且两个向量是同向，则SKIPIF1<0D．非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为30°【答案】D【解析】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故A错误；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，不能作为平面内所有向量的一组基底，B错误；两个向量的模长可以比较大小，但两个向量是不能比较大小的，故C错误；不妨令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D选项正确.故选D6．(多选题)(】河北省邢台市高三上学期联考)已知点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，且满足SKIPIF1<0，则()A．当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部时，SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外部时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0一定过SKIPIF1<0的重心 D．当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】对A，取边BC上的点D，且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部时，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0三点共线，所以存在唯一实数对SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.A正确；对B，取边BC的中点E，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，易知点P在三角形外部，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.B错误；对C，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由答案B中的推理，点SKIPIF1<0重合，则直线SKIPIF1<0一定过SKIPIF1<0的重心.C正确；由题意，对D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选ACD.7．(多选题)(2022届江苏省镇江市高三上学期期中)已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是()A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为6 D．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0【答案】BC【解析】A：若SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故A错误；B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；C：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，取得最小值，故C正确；D：若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当S