二重积分-课件

二重积分9/27/2023二重积分7/30/20231一.二重积分的性质二.二重积分的算法三.二重积分与极坐标四.二重积分的应用学习内容：9/27/2023学习内容：7/30/20232一.二重积分的性质1.线性性质（其中:

是常数）2.对区域的有限可加性若区域D

分为D1，D2两个部分区域

,则：3.若在区域D上总有，则有不等式一.二重积分的性质1.线性性质（其中:34.若在区域D上有为区域D的面积）（5.估值不等式设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值，是D的面积6.中值定理若f(x,y）在闭区域上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点使得4.若在区域D上有为区域D的面积）（5.估值不等式是D的面积4例1：估计二重积分的值，D是圆域解:求被积函数

在区域

上可能的最值(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：，于是有：例1：估计二重积分的值，D是圆域解:求被积函数5例2：比较积分，的大小其中D是由直线和所围成的解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点均有从而有而故由二重积分的性质得例2：比较积分，的大小其中D是由直线和所围成的解：因为积分域6二.二重积分的算法在区间[a,b]上任意取一个点作平行于yoz面的平面x=这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底，曲线为曲边的曲边梯形,其面积为该曲顶柱体的体积为二.二重积分的算法在区间[a,b]上任意取一个点作平行于yo7D:

x1(y)x

x2(y)c

y

dI=0y

xx2(y)x1

(y)cdy

二重积分计算的两种积分顺序DD:x1(y)xx2(y)I=0yxx80y

xcdyDx2(y)x1

(y)I=

二重积分计算的两种积分顺序.D:

x1(y)x

x2(y)c

y

d0yxcdyDx2(y)x1(y)I=二重积分计算90y

xcdyDD:

y1(x)y

y2(x)a

x

b0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)xI=二重积分计算的两种积分顺序.D:

x1(y)x

x2(y)c

y

d0yxcdyDD:y1(x)yy2(x)0100y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x6.

二重积分计算的两种积分顺序.I=D:

x1(y)x

x2(y)c

y

dD:

y1(x)y

y2(x)a

x

b0yxcdyD0yxI=aby1(x)y2(x)110y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x二重积分计算的两种积分顺序.I=D:

x1(y)x

x2(y)c

y

dD:

y1(x)y

y2(x)a

x

b0yxcdyD0yxI=aby1(x)y2(x)1211y=x20y

xD2先对y积分（从下到上）1画出区域D

图形3

先对x积分（从左到右）...y=x...例3：用两种顺序计算11y=x20yxD2先对y积分（从下到上）113一先对x积分yxoabDyxoabDyxoabD....例4：将二重积分化成二次积分一先对x积分yxoabDyxoabDyxoabD....14二先对y积分yxoabyxoabyxoabDDD.....二先对y积分yxoabyxoabyxoabDDD..15举例说明如何交换二次积分的次序（1）对于给定的二重积分先根据其积分限画出积分区域D（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限（3）写出结果举例说明如何交换二次积分的次序（1）对于给定的二重积分16例1将交换积分次序。解：由得积分区域：令，，，，画出的示意图如图。因为，所以：例1将交换积分次序。解：17画出的示意图如图。例2将交换积分次序。解：由得积分区域：令，，，，因为，所以：画出的示意图如图。例2将18极坐标系下的面积元素将变换到极坐标系0D用坐标线:

=常数；r

=常数

分割区域D

iriri+1...

...

i

i

i+

iI=

rir..三.二重积分与极坐标极坐标系下的面积元素将变换到极坐标系0D用坐标线:=常19怎样利用极坐标计算二重积分1.极点不在区域D的内部

0ABFE

DD:

rr怎样利用极坐标计算二重积分1.极点不在区域D的内部0A20怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFE

DD:.1.极点不在区域D的内部

r怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFEDD:.1.极21怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFE

DD:.

步骤：1从D的图形找出r,

上、下限；2

化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd

.1.极点不在区域D的内部

r怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFEDD:.步222.极点位于区域D的内部

0

DrD:怎样利用极坐标计算二重积分(2)r2.极点位于区域D的内部0DrD:怎样利用极坐标计算23

D:D0怎样利用极坐标计算二重积分(2).2.极点位于区域D的内部

rD:D0怎样利用极坐标计算二重积分(2).2.极点位于区域24

D:.D0

步骤：1从D的图形找出r,

上、下限；2

化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd

怎样利用极坐标计算二重积分(2).2.极点位于区域D的内部

rD:.D0步骤：怎样利用极坐标计算二重积分(2).2.250y

x2a

..解例5：.0yx2a..解例5：.26此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0y

xD:变换到极坐标系..

例6:计算D:

=1和

=2

围成此题用直角系算麻烦，21D0yxD:变换到极坐标系..例270y

x12

y=xD..

.例7：0yx12y=xD...例7：28四.二重积分的应用（一）、曲面的面积

（二）、平面薄片的质心

（三）、平面薄片的转动惯量

(四）、平面薄片对质点的引力（五）、经济应用四.二重积分的应用（一）、曲面的面积（二）、平面薄片的质29卫星实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可近似认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同,即人们看到它在天空不动.若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h应为多少?通讯卫星的覆盖面积是多大?一、曲面的面积卫星实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道30一、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d

,(称为面积元素)则一、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平31故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即32例1求半径为R的球的表面积：解

球面方程为：例1求半径为R的球的表面积：解球面方程为：33在第一卦限内球面的方程为

在平面上的投影区域可表示为D：x2+y2≤R2，x≥0，y≥0.

又在第一卦限内球面的方程为在平面上的投影区域可表示为D：x34于是，所求球的表面积为即球的表面积

它等于大圆面积的4倍.

于是，所求球的表面积为即球的表面积它等于大圆面积的4倍.35二、平面薄片的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心标设物体占有平面域D,有连续密度函数则分别位于为为采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心公式

二、平面薄片的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该36若物体为占有xoy面上区域D的平面片,(A为D的面积)得D的质心坐标:则它的质心坐标为其面密度若物体为占有xoy面上区域D的平面片,(A为D的37例5.求位于两圆和之间均匀薄的质心.

解:利用对称性可知而例5.求位于两圆和之间均匀薄的质心.解:利用对称性可38三、平面薄片的转动惯量设物体占有平面区域D,有连续分布的密度数该物体位于(x,y)处的微元因此物体对x轴的转动惯量:对x轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.三、平面薄片的转动惯量设物体占有平面区域D,有连续分布39同理可得：同理可得：40例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如41

G

为引