2023学年完整公开课版椭圆方程

§221椭圆及标准方程（一）第二章圆锥曲线与方程生活中的椭圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？探究新知——问题引入如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？动画演示平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆定点F1、F2叫做椭圆的焦点PF1F22椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a；两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即F1F2＝2c说明知识点一：椭圆的定义1平面上这一个条件不可少;32a>F1F2若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a<F1F2轨迹是什么呢？轨迹是一条线段轨迹不存在知识探究：椭圆的标准方程1建系设点；F1F2Oy原则：一般利用对称性或已有的线段、点建立坐标系对称、“简洁”尽可能使方程的形式简单、运算简单椭圆的焦距|F1F2|=2cc>0，则F1c,0、F2c,0，P与F1和F2的距离的和为2a2a>2c知识探究：椭圆的标准方程由椭圆的定义得：由于，得方程，|PF1||PF2|=2a，

移项、平方，

化为F1F2P,yOy

，知识探究：椭圆的标准方程

由椭圆定义可知2a>2c,整理得两边再平方，得椭圆的标准方程a4-2a2cc22=a22-2a2ca2c2a2y2,a2-c22a2y2=a2a2-c2,即a＞c,∴a2-c2>0设a2-c2=b2b>0,方程化为b22a2y2=a2b2,思考：利用此推导过程，能得到焦点在y轴上的椭圆的方程吗？知识探究：椭圆的标准方程焦点在轴上焦点在y轴上|PF1||PF2|=2aF1c,0、F2c,0|PF1||PF2|=2aF10,c、F20,c

知识探究：椭圆的标准方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO2、已知椭圆的方程为：，请填空：

a=

，b=

，c=

，焦点坐标为

，焦距等于

.3、a=5，c=4的椭圆标准方程是。106816-8,0、8,04或1、若M为椭圆

上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱=

.三、学以致用、应用新知典例分析一解：∵椭圆的焦点在轴上由椭圆的定义知

又c=2，∴b2=a2-c2=6

①定型②定量，，，，，，典例分析一另解：∵椭圆的焦点在轴上，由已知：c=2则a2-b2=c2=4，①

联立①②解得：a2=10，b2=6，，，，，在圆2y2=4上任取一点的轨迹方程OyPMD主动点从动点解：设M,y,P0,y0，由题意可得：y0=2y,0=，∴24y2=4显然点M的轨迹为一个椭圆，，，典例分析二跟踪训练二设点A、B的坐标分别为-1，0，1，0直线AM、BM相交于点M，直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程解：设点M的坐标为,y

化简，得点M的轨迹方程为=－3y≠0，，，，变式：直线AM的斜率与直线BM的斜率的积是-2呢？归纳小结1从集合的角度来理解曲线与方程的概念设以曲线C上任意点的坐标为元素组成的集合为A，以方程f，y＝0的解为元素组成的集合为B，则集合A的任一元素都是集合B中的元素，即A⊆B；而集合B的任一元素也都是集合A中的元素，即B⊆A由A⊆B且B⊆A得A＝B，此等式说明代数问题与几何问题通过坐标形成了完美、和谐的统一．1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在3对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法4用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设A2＋By2＝1A>0，B>0，A≠B求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的归纳小结归纳小结：椭圆的标准方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点