第三讲 中学数学的教学原则

第三讲中学数学的教学原则

一、数学的对象、特点

二、中学数学的教学原则一、数学的对象、特点

（一）数学的对象

（二）、数学的特点

（三）、数学的教育价值

（一）数学的对象1、古代人们对数学的认识

2、19世纪以前人们对数学的认识

3、现代人们对数学的认识

1、古代人们对数学的认识古希腊的亚里士多德认为：数学是研究数量的科学。并说“数是一种离散的数量”，“线是一种连续的数量”。研究数及其属性(例如奇偶性、对称性以及比例关系等)的学问叫做算术，研究量及其属性(例如对称、相交、平行等)的学科叫做几何学。

2、19世纪以前人们对数学的认识数学史表明，在19世纪以前，古典数学的主要成就是算术、几何学、代数学、微积分。这些数学学科所研究的都是客观事物的空间形式和数量关系。对此，恩格斯曾经概括为:“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。”3、现代人们对数学的认识（1）布尔巴基学派认为“数学是研究抽象结构的科学。”他们用结构的观点看待数学，认为最普遍、最基本的数学结构有代数结构、顺序结构、拓扑结构，这是三个母结构，此外还有许多各式各样的子结构，由母结构和某些子结构一起，形成某个数学分支的结构；（2）苏联著名数学家亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》一书中指出：“数学以纯粹形态的关系和形式作为自己的对象。”；

（3）我国数学家丁石孙认为“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数学关系和结构关系。”；（4）其它还有不少数学家认为，只要扩充对有关数量关系和空间形式的理解，恩格斯的数学对象观仍然适用于现代数学。（5）中学目前，《全日制普通高级中学数学教学大纲》（试验修订版）在谈到数学的对象时，就是把恩格斯定义中的“现实世界”去掉了，即“数学是研究空间形式和数量关系的科学”。

（二）、数学的特点

1．高度的抽象性

2．严谨的逻辑性

3．广泛的应用性

4．科学的预见性5．数学在科学体系中占有特殊位置6．当今数学科学的发展出现了下列新的趋势

例如，变速运动中，某一时刻的瞬时速度，这是从物理学中抽象出来的规律，而我们数学的抽象就是从数量关系上抽象:1．高度的抽象性数学为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此，数学具有十分抽象的形式，这就是数学的高度抽象性。数学的高度抽象性的特点

（1）不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号；（2）数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景；（3）高度的抽象必然有高度的概括；（4）数学的抽象能达到感知所不能达到的领域；

2．严谨的逻辑性

数学要求逻辑上无懈可击、结论要精确，一般称之为数学具有严谨的逻辑性。表现为：（1）数学概念必须严格地加以定义或用公理确定。（2）数学推理、论证必须符合逻辑规则。（3）数学的结论必须明确。

3．广泛的应用性

数学的高度抽象性和逻辑的严谨性带来了数学应用的广泛性。华罗庚教授所说:“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”马克思的思想，一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。在任何一个领域里，只要能从数学上提出课题，数学就能给出所要求的精确度的结果．现代科学技术的一个重要特征就是它的数学化．4．科学的预见性

正因为数学来自现实世界，正确反映了客观世界联系形式的一部分，所以它才能被应用，才能指导实践，才表现出科学的预见性．比如，在火箭、导弹发射之前，可以通过精密的计算，预测它的飞行轨道和着陆地点；在天体中的未知行星未被直接观察到之前，就从天文计算上预测到它的存在．5．数学在科学体系中占有特殊位置

数学既不属于社会科学，又不属于自然科学，这是因为，它的基本概念几乎在一切科学中都已用到．比如，“集合”、“结构”、“系统”、“同构”等概念，最初产生于数学，现在已获得一般科学概念的地位．6．当今数学科学的发展出现了下列新的趋势

（1）数学内部各分支间的相互渗透以及数学与其他科学的交叉融会。（2）计算机的发展为数学研究提供了新工具，形成了数学活动的新形式。（3）数学的应用领域日趋广泛。（三）、数学的教育价值——所谓数学的教育价值，即数学教育对人的发展的价值。

1.数学的实践价值

2.数学的认识价值

3．数学的德育价值

4.数学的美学价值

1.数学的实践价值——所谓数学的实践价值，是指数学对于认识客观世界、改造客观世界的实践活动所具有的教育作用和意义。（1）数学是科学的语言。

（2）数学是计算的工具（3）数学是科学抽象的工具

（2）数学是计算的工具——“实际上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术。”

比如，计算：解：原式=（3）数学是科学抽象的工具——运用数学的抽象，数学模型的方法，在理想状态下分析最纯粹的过程，是科学研究的重要手段。

18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是有人提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？这就是七桥问题，一个著名的图论问题。图1这个问题很长一段时间没有得到解决，后来在1738年瑞士数学家欧拉（Euler）利用数学抽象方法，成功地作出了解答。具体地说，欧拉敏锐地看到，整个问题与所走路程的长度无关；而且，岛区与河岸无非就是桥梁的连接地点。因此，欧拉把两个岛和河两岸抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线，这样，七桥问题便等价于一笔画出图2的问题。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。图22.数学的认识价值

——所谓数学的认识价值，是指学习和掌握数学科学知识及其过程在发展人的认识能力上所具有的教育作用和意义。

(1)数学是锻炼思维的体操，启迪智慧的钥匙

首先，逻辑思维能力是思维能力的核心，数学是培养学生逻辑思维能力最好的、最经济的材料。其次，数学训练思维能力的价值不仅在于严格的逻辑推理，同时数学也是学习合情推理的理想的课堂，是学习发现问题、提出问题、分析问题、解决问题思维程序，培养探索解决问题能力的最经济的场地。最后，数学思想方法的思维功能是数学教育功能最突出的体现。(2)数学是辨证的辅助工具和表现方式

3．数学的德育价值——所谓数学的德育价值，是指数学在形成和发展人的科学世界观、道德色彩和个性品质所具有的教育作用和意义。

在通过数学教育形成学生的性格特征中，辛钦着重谈及了四点:真诚、正直、坚韧和勇敢。数学是一门论证科学，其论证的严谨使人诚服，数学的真理性使人坚信不移。数学是一门精确的科学，在数学演算中，来不得半点马虎，在数学推理中，更容不得粗心大意。数学是一门循序渐进、逻辑性很强的抽象科学。学习数学，攻克具有挑战性的问题，会逐渐铸就人们脚踏实地、坚韧勇敢、顽强进取的攀登奋斗的探索精神。4.数学的美学价值

——所谓数学的美学价值，是指数学在培养发展学生审美情趣和能力方面所具有的教育作用和意义。

什么是美？美是心灵借物的形象来表现情趣，是真与善、规律性与目的性的统一。美又是自由、完好、和谐、鲜明、对称的形式。哲学家常说，美的就是真的，而数学就是这样一门“即美而又真”的科学。人们对数学的统一美、简单美、奇异美等的追求，在很大程度上促进了数学的发展。

二、中学数学的教学原则中数学教学原则是数学教学取得成效必须遵守的基本准则。它来自中学数学教学实践，反过来又对中学数学教学实践具有重要的指导作用。在中学数学教学过程中，无疑要遵循普遍的、一般的教学原则。中学数学教学原则是基于两方面原因提出来的:一方面是数学学科和数学教学的特点；另一方面是中学生认识发展的基本特点及与其相适应的教学目的。1．严谨性与量力性相结合的原则；2.抽象性与具体性相结合的原则；3理论与实际相结合的原则；4.巩固与发展相结合的原则；1、严谨性与量力性相结合的原则

（1）、数学理论的严谨性

（2）、对中学生的量力性

（3）、严谨性与量力性相结合

（1）、数学理论的严谨性——严谨性是数学科学理论的基本特点之一，其涵义主要是指数学逻辑的严密性及结论的精确性，在中学的数学理论中也不例外。

严谨性要求：

数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用而又不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定；它要求数学结论的叙述必须准确、精练；数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩；整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。它主要表现在以下两个方面：其一，概念（除原始概念外）必须定义；其二，命题（除公理外）都要证明。严谨性的表现：1)每个数学分科所包含的数学概念都分为两类：原始概念和被定义过的概念。原始概念是这个学科中定义其他概念的出发点，其本质属性在该学科中无法用定义方式来表述，只能用公理来揭示；被定义的概念都必须确切的、符合逻辑要求。

2)每个数学分科所包含的真命题也分为两类：公理和定理。公理是本学科中被挑选出来作为证明其他真命题的正确性的原始依据，其本身的正确性不加逻辑证明而被承认。但是，它们作为一个体系，必须满足相容性（无矛盾性）、独立性和完备性；定理都必须