三重积分的计算及重积分的应用

二、三重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法3.掌握确定积分限的方法——累次积分法把积分化为三次积分,其中

由曲面提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.P183题7练习题

计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:

利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P183题8(3)三重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化三重积分的计算：其它情形依此类推.三重积分计算的简化P182题1(1)

设有空间闭区域

则有（）例1

解典型例题

例2

解利用球面坐标例3

解

在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中第四节一、立体体积三、物体的质心重积分的应用第十章四、物体的转动惯量二、曲面的面积五、物体的引力二重积分的元素法将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)dσ的形式，其中(x,y)在dσ内。f(x,y)dσ称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），一、立体体积一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面

方程;第二步:求

与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.(示意图)任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在xOy面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面例2.求半径为a的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、曲面的面积曲面方程：D:有界闭区域求曲面的面积A设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d

,(称为面积元素)则(见P99)故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且曲面面积其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D（2）在区域D上计算二重积分：同理可得设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：例3求球面被平面所截的球冠的面积。解：球冠在xoy面上的投影区域：半球面面积：球面面积：例4求圆锥面被圆柱面所截部分的面积。投影区域：所求曲面：作业P155

10P175

1，2，3习题课三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心