第7讲二次函数与幂函数24

第24讲二次函数与幂函数知识聚焦1二次函数的图像和性质解析式y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图像

定义域RR值域

续表解析式y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)单调性顶点坐标

奇偶性当

时为偶函数

对称轴方程

b=02幂函数1定义:形如y=αα∈R的函数称为幂函数,其中是自变量,α是常数2常见的五种幂函数的图像和性质比较函数y=xy=x2y=x3y=x-1图像

性质定义域RRR

值域R

R

{|≥0}{|≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}函数y=xy=x2y=x3y=x-1性质奇偶性

函数

函数

函数

函数

函数

单调性在R上单调递增在

上

单调递减;在

上

单调递增在R上单调递增在

上单调递增在

和

上

单调递减公共点

续表奇偶奇非奇非偶奇-∞,0]0,∞[0,∞-∞,00,∞1,1常用结论1二次函数解析式的三种形式:1一般式:f=a2bca≠0;2顶点式:f=a-m2na≠0;3零点式:f=a-1-2a≠02一元二次不等式恒成立的条件:1“a2bc>0a≠0恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”;2“a2bc<0a≠0恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”5如图,若a<0,b>0,则函数y=a2b的大致图像是填序号

①②③④4的图像关于直线=1对称,则b=

=2-aa>0,若fm<0,则fm-10填“>”“<”或“=”

∈0,1时,函数y=m的图像在直线y=的上方,则m的取值范围是

探究点一幂函数的图像和性质=n,y=m,y=>n>> D

幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等探究点二二次函数的解析式例12已知二次函数f的图像经过点4,3,f的图像截轴所得的线段长为2,且对任意∈R,都有f2-=f2,则函数f的解析式为f=

变式题已知二次函数f满足f2=-1,f-1=-1,且f的最大值是8,则此二次函数的解析式为

求二次函数解析式的三个策略:1已知三个点的坐标,宜选用一般式;2已知顶点坐标、对称轴、最大小值等,宜选用顶点式;3已知图像与轴的两交点的坐标,宜选用零点式探究点三二次函数的图像与性质问题例2二次函数y=a2bc的图像如图所示给出下列结论:①abc<0;②a-bc>0;③abc>0;④b=2a其中正确的是填序号

微点1通过图像识别二次函数例32已知函数f=a2-2-2在区间[1,∞上不单调,则实数a的取值范围是

例4已知函数f=-22a1-a在上的最大值为2,则a的值为

微点3二次函数的最值问题微点4二次函数的恒成立问题3【微点4】已知函数f=26,若存在0∈,使得f0≥a2-a成立,则实数a的取值范围是A∪∪[4,∞4【微点2】已知函数f=a-1223在-∞,4]上是增函数,则实数a的取值范围是

5【微点4】已知函数f=-223,若f≤21-3a对任意实数都成立,则实数a的最大值为

【备选理由】例1主要考查了函数解析式的求解,等差、等比数列及函数与方程的应用,着重考查了推理与运算能力;例2主要考查二次函数与一次函数的关系,求出直线AB是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力、逻辑推理能力及计算能力;例3考查二次函数单调性与对称性结合的问题;例4考查不等式恒成立问题,转化思想是关键,即“总有|f1-f2|≤2”转化为“f0-ft≤2成立”例1已知函数f=2aba<0,b>0有两个不同的零点1,2,-2和1,2三个数适当排序后既可构成等差数列,也可构成等比数列,则函数f的解析式为 Af=