第三章32322奇偶性

322奇偶性教材知识探究在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……1函数的奇偶性奇、偶函数的定义域关于原点对称奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果

x∈I，都有－x∈I，且__________________，那么函数f(x)是偶函数关于______对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果

x∈I，都有－x∈I，且__________________，那么函数f(x)是奇函数关于______对称f－＝fy轴f－＝－f原点教材拓展补遗＝f，若存在，使f－＝－f，则函数y＝f一定是奇函数 提示反例：f＝2，存在＝0，f－0＝－f0＝0，但函数f＝2不是奇函数2不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 提示存在f＝0，∈R既是奇函数，又是偶函数××3若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数 提示函数f＝2－2，∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数在＝0处有定义，则f0＝0 的定义域为R，且f－2＝5，则f2＝－5 ×√√1为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称？ 提示由函数奇偶性的定义知，若在定义域内，则－一定也在定义域内若－不在定义域内，则f－无意义，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称＝a2＋b＋c 1若f为偶函数，需满足什么条件？ 2若f为奇函数，需满足什么条件？ 提示1b＝02a＝c＝0函数奇偶性的判断题型一解1函数f的定义域为R，关于原点对称，又f－＝2－|－|＝2－||＝f，所以f为偶函数2函数f的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f＝0，又f－＝－f，f－＝f，所以f既是奇函数又是偶函数3函数f的定义域为{|≠1}，不关于原点对称，所以f是非奇非偶函数规律方法判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：1定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f－是否等于±f，或判断f－±f是否等于0，从而确定奇偶性2图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数题型二 利用函数奇偶性求参数值【例2】1若函数f＝a2＋b＋3a＋b是偶函数，定义域为，则 a＝________，b＝________；解析2因为f为奇函数，所以f－＝－f，显然≠0，整理得2－a＋1＋a＝2＋a＋1＋a，故a＋1＝0，得a＝－1当a＝－1，b＝1时，经检验知f为奇函数，故a＋b＝0规律方法利用奇偶性求参数的常见类型1定义域含参数：奇偶函数f的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数2解析式含参数：根据f－＝－f或f－＝f列式，比较系数利用待定系数法求解题型三利用奇偶性求函数解析式【例3】1函数f是在R上的偶函数，且当<0时，f＝－1，则当>0时，f＝________ 2f为R上的奇函数，当>0时，f＝－22＋3＋1，则f＝________解析1当>0时，－<0，则f－＝－－－1＝＋1因为函数f为R上的偶函数，故f＝f－＝＋12当<0时，－>0，则f－＝－2－2＋3－＋1＝－22－3＋1由于f是R上的奇函数，故f＝－f－，所以f＝22＋3－1即当<0时，f＝22＋3－1因为f为R上的奇函数，故f0＝0规律方法利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应设在哪个区间上2要利用已知区间的解析式进行代入3利用f的奇偶性写出－f或f－，从而解出f提醒：若函数f的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……探究：函数的奇偶性与单调性的关系问题1上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？问题2我们本节学习的奇偶函数的图象有完美的对称关系，如图12所示分别为偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的对称关系画出相应图象的另一部分吗？2函数的奇偶性与单调性的关系（笔记）1若f为奇函数且在区间上为 ，即奇函数在关于原点对称区间上单调性 2若f为偶函数且在区间上为 ，即偶函在关于原点对称区间上单调性 增函数一致（相同）减函数相反解析∵f－＝f，∴f为偶函数，∴f2＝f－2答案B方向2区间内的最值问题【例4】2若奇函数f在区间上有 A最小值5 B最小值－5 C最大值－5 D最大值5 解析奇函数图象关于原点对称，并且奇函数f在区间上有最大值－5，所以f－＝－f在区间上有最小值5 答案A方向3不等式问题