第七节函数的图象

第七节函数的图象学习要求:1在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法、列表法、解

析法表示函数2会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式

解的问题1利用描点法作函数图象的步骤1确定函数的定义域2化简函数的解析式3讨论函数的性质奇偶性、周期性、单调性、最值等4描点连线必备知识

·

整合

2图象变换1平移变换:y=f y=⑤

fω

;y=f y=⑥

Af

3对称变换:y=f y=⑦

-f

;y=f y=⑧

f-

;y=f y=⑨

-f-

2伸缩变换:y=f y=⑩

f||

;y=f y= 

|f|

4翻折变换:知识拓展关于对称的四个重要结论:1函数y=f与y=f2a-的图象关于直线=a对称2函数y=f与y=2b-f2a-的图象关于点a,b中心对称3若函数y=f的定义域内任意自变量均满足fa=fa-,则函数y=f的

图象关于直线=a对称4y=f的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f的图象1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1当∈0,∞时,函数y=|f|与y=f||的图象相同2函数y=af与y=faa>0且a≠1的图象相同 3函数y=f与y=-f的图象关于原点对称4若函数y=f满足f1=f1-,则函数f的图象关于直线=1对称 

5将函数y=f-的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f--1的图象 

✕✕✕√✕2新教材人教A版必修第一册P68例5改编下列图象是函数y= 的图象的是 

C3新教材人教A版必修第一册P95综合运用T1改编小明骑车上学,开始时匀

速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以

上事件吻合得最好的图象是 

C=2bc的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长

度,所得图象的函数解析式为y=2-2-3,则Ab=2,c=2

Bb=-2,c=-1Cb=2,c=0

Db=-3,c=2C考点一作函数的图象关键能力

·

突破

典例1作出下列函数的大致图象1y= ;2y= ;3y=|log2-1|;4y=2-2||-1解析(1)易知函数y=

的定义域为{x|x∈R且x≠-1},y=

=-1+

.由y=

的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到函数y=

的图象,如图①所示.

(2)先作出y=

,x∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=

的图象,如图②所示.

(3)先作出y=log2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部

分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得到y=|log2x-1|的图象,如图③所示.

(4)y=x2-2|x|-1=

的图象如图④所示.

名师点评作函数图象的一般方法1直接法:当函数解析式或变形后的解析式是熟悉的函数时,就可根据这些

函数的特征描出图象的关键点直接作出;2图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称

得到,则可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单

位及解析式的影响作出下列函数的大致图象,并写出函数的单调区间和值域1y= ;2y=2-4||解析(1)y=

=1+

的图象如图所示:

由图象知函数在(-∞,2)和(2,+∞)上为减函数.因为

≠0,所以1+

≠1,故值域为(-∞,1)∪(1,+∞).(2)y=x2-4|x|=

作出图象如图所示:

由图象可知函数在(-∞,-2]和[0,2]上为减函数,在[-2,0]和[2,+∞)上为增函数,当x=±2时,y取得最小值-4,故值域为[-4,+∞).考点二函数图象的识别角度一由式识图或由图辨式典例2

多选题2020山东潍坊模拟函数f= 的图象可能是 

ABC解析

函数f(x)=

,若a=0,则f(x)=

=

,故C中图象可能;若a>0,则函数f(x)的定义域为R,且f(0)=0,故B中图象可能;若a<0,则x≠±

,故A中图象可能,故选ABC.角度二借助动点研究函数的图象典例3如图,点是CD的中点,当运动时,设点的面积为y,则函数y=f的图象大致

是 

A解析

当点P在AB上时,y=

×x×1=

x,0≤x≤1;当点P在BC上时,y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=-

x+

,1<x≤2;当点P在CM上时,y=

×

×1=-

x+

,2<x≤

,所以y=

故选A.名师点评1抓住函数的性质,定性分析:1由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上下位

置;2由函数的单调性判断图象的变化趋势;3由函数的周期性判断图象的

循环往复;4由函数的奇偶性判断图象的对称性2抓住函数的特征,定量计算:从函数的特征点出发,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题12020河南郑州模拟函数f= 的部分图象大致为 

B解析

因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=

=-

=

=f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除选项A、C,f(2)=

=-

sin2,因为

<2<π,所以sin2>0,所以f(2)<0,排除选项D.故选B.22020河北衡水中学三模如图所示的是函数f的部分图象,则f的解析式

可能是 Af=|sincos|

Bf=sin2cos2Cf=|sin||cos|

Df=sin||cos||B解析

由题图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)应为偶函数,排除A选项;由题图可知函数f(x)能取到小于0的值,所以排除C选项;对于D选项,当x∈(0,1)时,f(x)=sinx+cosx=

sin

,而当x∈

时,

∈

,根据正弦函数的图象可知D选项不正确,故选B.考点三函数图象的应用角度一研究函数的性质典例4

2020山东淄博二模已知方程||y|y|=-1表示的曲线为y=f的图象,

对于函数y=f有如下结论:①f在-∞,∞上单调递减;②函数F=f

至少存在一个零点;③y=f||的最大值为1;④若函数g和f的图象关于原

点对称,则y=g由方程y|y|||=1所确定,其中正确结论的序号为 A①③

B②③C①④

D②④C解析

当x≥0,y≥0时,x2+y2=-1,此方程不存在;当x≥0,y<0时,x2-y2=-1,此时图象为实轴在y轴上的双曲线的一部分;当x<0,y≥0时,y2-x2=-1,此时图象为实轴在x轴上的双曲线的一部分;当x<0,y<0时,x2+y2=1,此时图象为以原点为圆心,1为半径的圆的一部分.画出y=f(x)的图象,如图所示:由图象可得f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以①中结论正确;函数y=f(x)的图象

与直线y=-x没有交点,即f(x)=f(x)+x没有零点,所以②中结论错误;由函数图象

的对称性可知③中结论错误;若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称,则在x|x|+y|y|=-1中,用-x代替x,用-y代替y,可得y|y|+x|x|=1,所以④中结论正确.故选C.角度二求不等式的解集典例5

2020河南郑州一模已知定义在R上的函数f在-∞,-2上是减函数,

若g=f-2是奇函数,且g2=g0=0,则不等式f≤0的解集是 A-∞,-2]∪∪∪∪[0,∞C解析

g(x)=f(x-2)的图象是由函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,且g(2)=g(0)=0,所以f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,f(0)=g(2)=0,画出f(x)的

大致图象,如图所示:

结合函数的图象可知,当x≤-4或x≥-2时,xf(x)≤0,故选C.角度三求参数的取值范围典例6

2020广东深圳模拟已知函数f= 若不等式f-1<0的解集为空集,则实数的取值范围是 A2-2 ,0]

B2-3 ,0]CC解析

因为不等式f(x)-kx+k+1<0的解集为空集,所以不等式f(x)-kx+k+1≥

0恒成立,即f(x)≥k(x-1)-1恒成立.在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=k(x-1)-1的图象,如图所示:

直线y=-1-1过定点A1,-1,当直线y=-1-1与y=2≤0的图象相切时,方程f-1=0有一个实数

解,可得2=-1-1,即2-1=0,由Δ=2-41=0,可得=2-2 或=22 舍去,由函数图象可知使不等式恒成立的实数的取值范围是名师点评1利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象

的函数是常用的,函数的性质单调性、奇偶性、周期性、最值值域、零点

也常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系2利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f=g的根就

是函数f与g图象交点的横坐标;不等式f<g的解集是函数f的图象

位于g图象下方的点的横坐标的集合,这里体现了数形结合思想=||-2,则下列结论正确的是 Af是偶函数,递增区间是0,∞Bf是偶函数,递减区间是-∞,1Cf是奇函数,递减区间是-1,1Df是奇函数,递增区间是-∞,0C解析

将函数f