第二章第九节函数与方程

第二章函数、导数及其应用第九节函数与方程抓基础明考向提能力教你一招我来演练

考

什

么了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点.怎

么

考1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求

参数取值范围问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交

汇命题.1函数的零点1定义对于函数y＝f∈D，把使成立的实数叫做函数y＝f∈D的零点．2函数的零点与相应方程的根、函数的图象与轴交点间的关系方程f＝0有实数根⇔函数y＝f的图象与有交点⇔函数y＝f有．f＝0轴零点3．函数零点的判定零点存在性定理如果函数y＝f在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f在区间内有零点，即存在c∈a，b，使得，这个也就是f＝0的根．fa·fb<0a，bfc＝0c二、二次函数y＝a2＋b＋ca>0的图象与零点的关系>0＝0<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数1,0，2,0两个 一个零个1．函数f＝e＋－2的零点所在的一个区间是A．－2，－1B．－1,0C．0,1D．1,2解析：由于f0＝－1＜0，f1＝e－1＞0，根据函数的零点存在性定理，知函数f的零点在区间0,1内．答案：C答案：C3．教材习题改编在以下区间中，存在函数f＝3＋3－3的零点的是 A． D．答案：C解析：注意到f－1＝－7<0，f0＝－3<0，f1＝1>0，f2＝11>0，f3＝33>0，结合各选项知，选C答案：2答案：－2,05．已知函数f＝2＋＋a在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f＝2＋＋a在0,1上有零点．∴f0f1<a＋2<0，解得－2<a<01．函数的零点不是点函数y＝f的零点就是方程f＝0的实数根，也就是函数y＝f的图象与轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．函数零点具有的性质对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：1当它通过零点不是偶次零点时，函数值变号；2相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3．零点存在定理的零点个数1在a，b上存在零点此处的零点不仅指变号零点，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个．2若函数在a，b上有零点，不一定有fa·fb<0B当≤0时，2＋2－3＝0，解得＝1或－3，则f在－∞，0]上有一个零点；当>0时，－2＋ln＝0，解得＝e2，则f在0，＋∞上有一个零点，所以f共有2个零点．C——————课堂突破保分题，分分必保！答案：B答案：D

函数零点的判断方法1直接求零点：令f＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；2零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且fa·fb<0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点；3利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2011·辽宁高考改编已知函数f＝e－＋a有零点，则a的取值范围是________．∵f＝e－＋a，∴f′＝e－′＝0，得＝0当<0时，f′<0，f在－∞，0上是减函数，当>0时，f′>0，函数f在0，＋∞上是增函数．故fmin＝f0＝1＋a若函数f有零点，则fmin≤0即1＋a≤0，∴a≤－1若函数变为f＝ln－2＋a，其他条件不变，求a的取值范围．—————课堂突破保分题，分分必保！3．2012·天津联考若函数f＝3－3＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 A．－2,2 B．C．－∞，－1 D．1，＋∞答案：A解析：函数f有3个不同的零点，即其图象与轴有3个不同的交点，因此只需f的极大值与极小值异号即可．f′＝32－3，令32－3＝0，则＝±1，故极值为f－1和f1，f－1＝a＋2，f1＝a－2，所以应有a＋2a－2<0，故a∈－2,2．4．2012·南通质检已知函数f＝2＋1－－的一个零点在2,3内，则实数的取值范围是________．答案：2,3解析：因为Δ＝1－2＋4＝1＋2≥0对一切∈R恒成立，又＝－1时，f的零点＝－1∉2,3，故要使函数f＝2＋1－－的一个零点在2,3内，则必有f2·f3<0，即2<<3此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了数形结合思想．数学思想数形结合思想与转化化归思想在解决方程根的问题中的应用当<2时，f′＝3－12≥0，说明函数在－∞，2上单调递增，函数的值域是－∞，1，又函数在．方程f＝有两个不同的实根，转化为函数y＝f和y＝有两个不同的交点，如图所示，当0<<1时直线y＝与函数f图象有两个交点，即方程f＝有两个不同的实根．答案：0,1解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之