第五节指数与指数函数

第五节指数与指数函数学习要求:1掌握指数幂的运算性质2通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念3能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点1指数幂的概念1根式的概念必备知识

·

整合

方根的概念符号表示备注如果①

xn=a

,n>1,n∈N*,那么x叫做a的n次方根

当n为奇数时,正数的n次方根是一个②

正数

,负数的n次方根是一个③

负数

0的n次方根是0当n为偶数时,正数的n次方根有④

两个

,它们互为⑤

相反数

±

负数没有偶次方根2两个重要公式 =  n=⑨

a

注意a必须使 有意义2有理数指数幂1分数指数幂的表示 =⑩

 

a>0,m,n∈N*,n>1, = 

 

= a>0,m,n∈N*,n>120的分数指数幂0的正分数指数幂是 

0

,0的负分数指数幂无意义

3有理数指数幂的运算法则iaras= 

ars

a>0,r,s∈Qiiars= 

ars

a>0,r,s∈Qiiiabr= 

arbr

a>0,b>0,r∈Q3指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

性质过定点

(0,1)

当x>0时,

y>1

;当x<0时,

0<y<1

当x>0时,

0<y<1

;当x<0时,

y>1

在(-∞,+∞)上是

增函数

在(-∞,+∞)上是

减函数

▶提醒1当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况

进行讨论2指数函数的图象恒过点0,1,1,a, ,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象知识拓展判断指数函数的图象与底数大小的关系如图所示的是指数函数1y=a,2y=b,3y=c,4y=d的图象,底数a,b,c,d与1

之间的大小关系为c>d>1>a>b>0由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指

数函数y=aa>0,且a≠1的图象越高,底数越大1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1 = n=a 2-1 =-1 =  3函数y=a-a>0,且a≠1是R上的增函数 4函数y=2-1是指数函数 5若am<ana>0,且a≠1,则m<n ✕✕✕✕✕✕2新教材人教A版必修第一册P107T2改编设a>0,将 表示成分数指数幂,其结果是A 

B 

C 

D C3新教材人教A版必修第一册P115T2改编若函数f=aa>0,且a≠1的图象

经过点 ,则f-1= A1

B2

C 

D3C4新教材人教A版必修第一册年内,计划使每年的产量比上一年增加By=a1,∈NCy=a1Dy=a1,∈NB=aa>0,a≠1在区间上的最大值是最小值的2倍,则a的值是 

A 或 

B 或2C 

D2B1002 -  - -10=-45

关键能力

·

突破

考点一根式、指数式的化简与求值解析

-

+

-(

-1)0=0.3-1-49+

-1=-50+

+

=-45.22  -6  ÷-3  a>0且b>0=4a

解析(2

)(-6

)÷(-3

)=

·

=4a.3化简下列各式:1 2-2× -00105;2 a>0,b>0解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×-

=1+-

=

.(2)原式=

=

=

.名师点评指数幂运算的一般原则1有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算2先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数3底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先

化成假分数4若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算

性质来解答▶提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式要统一考点二指数函数的图象及应用典例11在同一平面直角坐标系中,如果a>0且a≠1,那么函数f=a与g=

a-在[0,∞上的图象可能是 

A2多选题已知实数a,b满足等式 = ,则下列关系式中不可能成立的是

A0<b<a

Ba<b<0C0<a<b

Db<a<0CD解析(1)易知f(x)=xa为幂函数,g(x)=a-x=

为指数函数.g(x)=a-x=

的图象过定点(0,1),当0<

<1,即a>1时,g(x)是减函数,f(x)=xa是下凹增函数,故A选项正确,B选项错误;当

>1,即0<a<1时,g(x)是增函数,f(x)=xa是上凹增函数,故C、D选项错误.(2)画出函数y=

和y=

的图象,如图所示:结合图象分析a,b满足等式

=

时a,b的大小关系.易知,若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b均为负数,则a<b<0;若a=b=0,则

=

=1.名师点评应用指数函数图象的4个技巧1画指数函数y=aa>0,且a≠1的图象,应抓住三个关键点:1,a,0,1, 2已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这

些点,若不满足,则排除3对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入

手,通过平移、伸缩、与1的大小关系

不确定时,应注意分类讨论4有关指数方程、不等式问题的求解,往往要作出相应的指数型函数图象,运用数形结合的思想求解=a-a2aa>0且a≠1的图象不可能是 

D解析

当0<a<1时,函数y=ax-a2+a为减函数,取x=0,则y=a0-a2+a=-

+

,又0<a<1,所以1<-

+

≤

,故C中图象可能,D中图象不可能;当a>1时,函数y=ax-a2+a为增函数,取x=0,则y=a0-a2+a=-

+

,又a>1,所以-

+

<1,故A、B中图象可能.=a-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 

Aa>1,b<0

Ba>1,b>0C0<a<1,b>0D0<a<1,b<0D解析

由题中f=a-b的图象可以观察出,函数f=a-b在定义域上单调递减,所以0<a<1函数f=a-b的图象是将f=a的图象向左平移得到的,所以b<0考点三指数函数的性质及应用角度一比较指数式的大小典例2

2020四川成都七中高三模拟已知a= ,b= ,c=2 ,则 Ab<a<c

Ba<b<cCb<c<a

Dc<a<bA解析

a=

=1

,b=

=1

,c=2

,因为幂函数y=

在R上单调递增,所以a<c,因为指数函数y=16x在R上单调递增,所以b<a,即b<a<c.角度二解简单的指数方程或不等式典例3设函数f= 1解不等式f< ;2求函数f的值域解析(1)因为f(x)=

=1+

<

,所以4x+1<3,即22x<21,所以x<

,即不等式的解集为

.(2)因为f(x)=1+

,4x>0,所以4x+1>1,-2<

<0,-1<1+

<1,所以f(x)的值域为(-1,1).角度三与指数函数有关的复合函数的单调性典例4函数f= 的单调递增区间为 A 

B C D C解析

由-x2+x+1≥0得

≤x≤

,∴f(x)的定义域为

.∵y=-x2+x+1在

上单调递增,在

上单调递减,∴t=

在

上单调递增,在

上单调递减,又y=

在R上单调递减,∴f(x)=

的单调递增区间为

.角度四指数函数性质的综合问题典例5已知定义在R上的函数f= 是奇函数1求实数a,b的值;2若对任意实数,不等式f4-·2f221-<0恒成立,求实数的取值范围解析(1)∵定义在R上的函数f(x)=

是奇函数,∴f(0)=0,解得b=1.由f(-1)=-f(1),得

=-

,解得a=2.故实数a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=

=

=-

+

,∵y=2x+1在R上单调递增,且y>1,∴f(x)在R上单调递减.不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立即不等式f(4x-k·2x)<-f(22x+1-k)恒成立,∵f(x)是奇函数,又是单调递减函数,∴4x-k·2x>k-22x+1,可得3·4x-k·2x-k>0恒成立,令t=2x(t>0),则3t2-kt-k>0(t>0)恒成立,若

≤0,则-k≥0,即k≤0;若

>0,则Δ<0,即k2+12k<0,此时无解.综上,实数k的取值范围是(-∞,0].名师点评指数函数的性质及应用问题的解题策略:1比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值0或1比较大小2解简单的指数型不等式要充分利用指数函数的性质,将指数型不等式转化

为一次、二次不等式解决3指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质如

奇偶性、周期性相结合,同时要特别注意,底数不确定时,应对底数进行分类

讨论1多选题已知函数f= ,则下列说法正确的是 Af的图象关于原点对称Bf的图象关于y轴对称Cf的值域为-1,1D∀1,2∈R,且1≠2, <0恒成立AC解析

f(x)=

的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=

=

=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A选项中说法正确;f(1)=

=

,f(-1)=

=-

≠f(1),所以f(x)的图象不关于y轴对称,故B选