工程力学(运动学与动力学)-13-点的运动学与刚体的基本运动

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范钦珊教育与教学工作室Thursday,September28,2023返回总目录工程力学清华大学范钦珊课堂教学软件(13)第三篇运动学与动力学工程力学工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念、基本理论和基本方法。这些内容不仅是工程运动学的基础，而且也是工程动力学(dynamics)的基础。运动学的研究对象是点和刚体。工程运动学的分析方法主要是矢量方法。第三篇运动学与动力学工程力学第13章点的运动学与刚体基本运动第三篇运动学与动力学工程力学

运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时间的变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化，因而称为变矢量。变矢量运算与常矢量有相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的难点。第13章点的运动学与刚体基本运动

点的运动学

刚体的简单运动

结论与讨论第13章点的运动学与刚体基本运动返回总目录

点的运动学返回第13章点的运动学与刚体基本运动

点的运动学

参考系

位矢、速度和加速度

点的运动学

参考系

点的运动学

参考系根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为参考体(referencebody)，与参考体固连的坐标系称为参考系(referencesystem)。参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的，但是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。

点的运动学

位矢、速度和加速度

点的运动学

位矢、速度和加速度点(point)的运动主要有直线运动（rectilinearmotion）和曲线运动（curvilinearmotion）两种形式。后者又有平面曲线和空间曲线之分。

曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动

点的运动学

位矢、速度和加速度

点的运动学

位矢、速度和加速度

曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动xzyO考察定参考系中，沿空间曲线运动的点P。自坐标原点O向点P作矢量r，称为点P对于原点O的位置矢量（positionvector），简称位矢。当点P运动时，位矢r也随该点一起运动，且为时间t的单值函数：rr´r

r=r(t)P

描述点的运动的矢量法因此，位矢为变矢量。r=r(t)则是用变矢量表示的点的运动方程。点P在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线，称为位矢端图(hodographofpositionvector)。显然，位矢端图就是点P的运动轨迹（trajectory）。PP´

点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOr(t)r(t＋

t)

rvt瞬时:矢径r(t)

r(t)＝r(t＋

t)－r(t)点在t瞬时的速度

t时间间隔内矢径的改变量,称为点的位移t＋

t瞬时:矢径r(t＋

t)

或r(t)＋

r(t)描述点的运动的矢量法在时间间隔Δt内，点由位置P运动到其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。PP´

点的运动学

位矢、速度和加速度t瞬时:速度v(t)

v(t)＝v

(t＋

t)－v(t)点在t瞬时的加速度：

t时间间隔内速度的改变量v´t＋

t瞬时:速度v(t＋

t)

或v(t)＋

v(t)xzyO描述点的运动的矢量法显然，速度v和加速度a也都是变矢量。r´P´v´

vPrv

点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP不受约束的点在空间有3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)描述点的运动的直角坐标法

点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP将矢径表示成考虑到在Oxyz定参考系中，i、j、k均为常矢量描述点的运动的直角坐标法点的速度为：

点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述点的运动的直角坐标法P

点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。

点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述点的运动的直角坐标法P

点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。

点的运动学

位矢、速度和加速度如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点P至原点的弧长s＝OP，并且规定：原点O的某一侧弧长为正；另一侧为负。这种具有确定正负号的弧长s称为P点的弧坐标(arccoordinateofadirectedcurve)。弧坐标s完全确定了动点P在轨迹上的位置。点运动时，其弧坐标随时间而变化：这就是动点P的弧坐标形式的运动方程。描述点的运动的弧坐标法

点的运动学

位矢、速度和加速度弧坐标具有以下要素：1、有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；2、有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；3、有相应的坐标系。描述点的运动的弧坐标法

点的运动学

位矢、速度和加速度

弧坐标中的速度表示点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。

点的运动学

位矢、速度和加速度几点讨论

若则，即点沿着s+的方向运动；反之点沿着s－的方向运动；

中v

和

分别表示速度的大小与方向。

点的运动学

位矢、速度和加速度根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式

弧坐标中的加速度表示

点的运动学

位矢、速度和加速度

弧坐标中的加速度表示

点的运动学

位矢、速度和加速度

n´´

当

0时，

的极限方向垂直于

，亦即n方向。

弧坐标中的加速度表示P

sP'

点的运动学

位矢、速度和加速度

当

0时，

的极限方向垂直于

，亦即n方向。

弧坐标中的加速度表示

点的运动学

位矢、速度和加速度

弧坐标中的加速度表示

点的运动学

位矢、速度和加速度

弧坐标中的加速度表示－切向加速度－法向加速度

点的运动学

位矢、速度和加速度几点讨论

切向加速度表示速度矢量大小的变化率；

法向加速度表示速度矢量方向的变化率；

点的运动学

位矢、速度和加速度

自然轴系当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然轴系。

点的运动学

位矢、速度和加速度

自然轴系－密切面

点的运动学

位矢、速度和加速度

自然轴系－密切面

点的运动学

位矢、速度和加速度

自然轴系过P点与运动轨迹相切的平面称为密切面(osculatingplane)。

点的运动学

位矢、速度和加速度密切面s-s+PT(切线)N(主法线)B(副法线)P－空间曲线上的动点；T－过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；N－密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；B－过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由B＝T

N确定。

自然轴系P－TNB

点的运动学

位矢、速度和加速度s-s+T(切线)N(主法线)B(副法线)

自然轴系P－TNB上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，称为自然轴系（trihedralaxesofaspacecurve）。于是上述关于速度和加速度的公式和结论均成立。而且，加速度在副法线方向的投影恒为零。

点的运动学

位矢、速度和加速度

自然轴系P－TNB

点的运动学

位矢、速度和加速度自然轴系的特点跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。s-s+T(切线)N(主法线)B(副法线)自然轴系的基矢量

自然轴系P－TNB

bn

点的运动学

位矢、速度和加速度

空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。

空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。

曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/

表示。

曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第二曲率。

自然轴系P－TNB-由密切面得到的几点结论

点的运动学

位矢、速度和加速度例题1椭圆规机构描述点的运动的直角坐标法

点的运动学

位矢、速度和加速度求：P点的运动方程、速度、加速度。例题1椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。描述点的运动的直角坐标法1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。

点的运动学

位矢、速度和加速度例题1描述点的运动的直角坐标法P点的运动方程：从中消去t得到P点的轨迹方程1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。

点的运动学

位矢、速度和加速度例题1描述点的运动的直角坐标法P点的运动方程：P点的速度：P点的加速度：

点的运动学

位矢、速度和加速度例题1几点讨论:1、建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置：对于直线坐标，位于坐标轴的正向；对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。2、关于P点运动的性质：何时作加速度运动？何时作减速度运动？这一问题请同学们自己研究。

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心A的速度为v0(t)1．分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径；2．讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。Rv0A

点的运动学

位矢、速度和加速度M例题2于是M点的运动方程为：解：1.建立坐标系Oxy取点M所在的一个最低位置为原点O，设在任意时刻t圆盘的转过的角度为

CAM＝

，

为时间t的函数，C是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以：

点的运动学

位矢、速度和加速度点M的速度分量为：加速度分量为：于是M点的运动方程为：Ma

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2解：

2．建立和与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系将其对t求一次导数，可得aMa

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心A点作水平直线运动，所以有再对t求一次导数，可得这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的。引入

则有Ma

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2Ma即轮上M点的速度大小与M点到C点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定：M点的速度大小为

点的运动学

位矢、速度和加速度解：2．建立和与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系例题2于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。v

MC当

=0和

=2

时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。从图中的几何关系可以证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，Ma

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2加速度可由式求得由此可见，当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此瞬时的切向加速度，因为此时速度为零，故其法向加速度为零。

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2Ma这时M点的速度为v=2v0，于是，轨迹在最高处的曲率半径为：

3．确定M点的轨迹在最高点处的曲率半径

M点轨迹在最高点处的切线方向与i同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与－j同向。于是，法向加速度的大小为：由于当

=

时，M点的速度和加速度分别为：

点的运动学

位矢、速度和加速度例题24.讨论：若v0为常矢量，则

为常量，故，此时由式M点加速度大小恒为：M点加速度的方向由下式确定：根据式

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2所以，这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A，如图中所示，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和。不过请注意，若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。

点的运动学

位矢、速度和加速度例题2

刚体的简单运动返回第13章点的运动学与刚体基本运动

平移

定轴转动

刚体的简单运动

平移

刚体的简单运动

平移

刚体的简单运动根据平移的定义，rAB为常矢量，

刚体运动时，其上任意直线永远平行于其初始位置，这种运动称为刚体的平行移动（translation）,简称平移或平动。在平移刚体内任选两点A、B，令点A、B的矢径分别为rA和rB，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。

平移

刚体的简单运动平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点（例如质心）的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。根据平移的定义，为常矢量，

平移

刚体的简单运动平移的实例

平移

刚体的简单运动平移的实例平移的特点

刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；

刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度；

刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析.

平移

刚体的简单运动例题3

平移

刚体的简单运动已知：O1A＝O2B＝l；O1A杆的角速度和角加速度

。求：C点的运动轨迹、速度和加速度例题3

平移

刚体的简单运动

平移

刚体的简单运动解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。1、运动轨迹

C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。而不是以O1点为圆心、或以O3点为圆心的圆弧。例题3

平移

刚体的简单运动解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。2、速度vC=vA=

vB=

l例题3

平移

刚体的简单运动解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。3、加速度例题3

平移

刚体的简单运动需要注意的是：虽然平板上