第七节基本不等式及应用

第七节基本不等式及应用学习要求:1探索并了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大小值问题1基本不等式 ≤ 1基本不等式成立的条件:①

a>0,b>0

2等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立▶提醒在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立必备知识

·

整合

2算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为②

,几何平均数为③

,基本

不等式可叙述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值已知>0,y>0,1如果y是定值p,那么当且仅当=y时,y有最小值,是④

2 

简记为积

定和最小2如果y是定值q,那么当且仅当=y时,y有最大值,是⑤

简记为和定

积最大知识拓展1基本不等式的两种常用变形形式1ab≤ a,b∈R,当且仅当a=b时取等号2ab≥2 a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号2几个重要的结论1 ≥ a,b∈R2  ≥2ab>03 ≤ ≤ a>0,b>01判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1不等式a2b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同的 2函数y= 的最小值是2 3函数f=sin 的最小值为4 4“>0且y>0”是“  ≥2”的充要条件 ✕✕✕✕2新教材人教B版必修第一册P73例1改编若<0,则  A有最小值,且最小值为2B有最大值,且最大值为2C有最小值,且最小值为-2D有最大值,且最大值为-2D32020辽宁葫芦岛模拟已知实数满足lo >1,则函数y=8 的最大值为 A-4

B8C4

D0D42018天津,13,5分已知a,b∈R,且a-3b6=0,则2a 的最小值为

考点一利用基本不等式求最值关键能力

·

突破

角度一利用配凑法求最值典例1

2020四川乐山一中月考设0<< ,则函数y=43-2的最大值为

解析

y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤

=

,当且仅当2x=3-2x,即x=

时,等号成立.∵

∈

,∴函数y=4x(3-2x)

的最大值为

.角度二利用常数代换法求最值典例2已知a>0,b>0,ab=1,则  的最小值为4

解析因为a+b=1,所以

+

=

(a+b)=2+

+

≥2+2

=4.当且仅当a=b=

时,取等号.◆变式若本例条件不变,则  的最小值为9

解析因为a+b=1,所以

=

=

=5+2

≥5+4=9.当且仅当a=b=

时,取等号.角度三消元法求最值典例3已知>0,y>0,3yy=9,则3y的最小值为6

解析解法一:(换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2

,所以3xy≤

,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+

≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y的最小值为6.解法二:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=

,所以x+3y=

+3y=

=

=

=3(1+y)+

-6≥2

-6=12-6=6.当且仅当3(1+y)=

,即x=3,y=1时等号成立.所以x+3y的最小值为6.名师点评1利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式2常数代换法,主要解决形如“已知y=tt为常数,求  的最值”的问题,先将  转化为 · ,再用基本不等式求最值3当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分

变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最

值12020湖北孝感应城第一高级中学模拟已知>0,y>0,2y2y=8,则2y的

最小值是 A3

B4C 

D B解析

由题意得x+2y=8-x·(2y)≥8-

,当且仅当x=2y=2时等号成立.∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)·(x+2y+8)≥0,∵x>0,y>0,∴x+2y>0,∴x+2y≥4.22020四川遂宁模拟当>1时, 的最小值为5

解析∵x>1,∴x-1>0,由基本不等式得x+

=(x-1)+

+1≥2

+1=5.当且仅当x=3时,等号成立.因此,x+

的最小值为5.32020吉林长春农安实验中学模拟已知>0,y>0,且  =1,若2y>m22m恒成立,则实数m的取值范围是-4,2

解析

由题意可知x+2y=(x+2y)·

=4+

+

≥4+2

=8,当且仅当x=2y=4时等号成立,要使x+2y>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解得-4<m<2.考点二利用基本不等式解决实际问题典例4某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件该种产

品,需另投入成本C万元,当年产量不足80千件时,C= 210当年产量不小于80千件时,C=51 -1450每件商品的售价为005万元通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完1写出年利润L万元关于年产量千件的函数解析式;2当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大解析(1)因为每件商品的售价为0.05万元,所以x千件商品的销售额为0.05×1000x万元,依题意得,当0≤x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-

-250=-x2+40x-250.当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-

51x+

-1450

-250=1200-

.所以L(x)=

(2)当0≤x<80时,易知L(x)=-

(x-60)2+950.当x=60时,L(x)取得最大值,L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1200-

≤1200-2

=1200-200=1000.当且仅当x=

,即x=100时,L(x)取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利

润为1000万元.名师点评利用基本不等式解决实际问题的技巧:1根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值2解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围3在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调

性求解1某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存

储费用为4万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是30

解析由题意得,一年购买

次,则总运费与总存储费用之和为

×6+4x=4

≥8

=240(万元),当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时,x的值是30.2某游泳馆拟建一个平面图形为矩形且面积为200平方米的游泳池,如图池的

深度为1米,四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元池壁厚度忽略不计当游泳池的长设计

为15

米时,总造价最低

解析设游泳池的长为x米,总造价为y元,则宽为

米,y=400×

+100×

+60×200=800×

+12000≥1600

+12000=36000,当且仅当x=

(x>0),即x=15时等号成立.即游泳池的长设计为15米时,总造价最低.考点三基本不等式的综合应用典例512020广东惠州调研在△ABC中,点D是AC上一点,且 =4 ,P为BD上一点,向量 =λ μ λ>0,μ>0,则  的最小值为 A16

B8C4

D2A22020北京朝阳模拟如图,在三棱锥=m,n,,n,--= ,且  ≥8恒成立,则正实数a的最小值为1

解析(1)由题意可知,

=λ

+4μ

,因为B,P,D三点共线,所以λ+4μ=1,又因为λ>0,μ>0,所以

+

=

×(λ+4μ)=8+

+

≥8+2

=16,当且仅当λ=

,μ=

时,等号成立,故

+

的最小值为16.故选A.(2)∵PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,∴VP-ABC=

×

×3×2×1=1=

+x+y,∴x+y=

,则2x+2y=1.∵a>0,∴

+

=

(2x+2y)=2+2a+

+

≥2+2