第八章第02节 二重积分的计算

*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算

第八章

按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的.那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍:一、利用直角坐标计算二重积分二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此,先介绍：1、积分域D:（1）X-型域D:［X－型］其中函数、在区间上连续.（2）Y-型域D：

Y型区域的特点:

1)穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个;2)［Y－型］

X型区域的特点：1)平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；2)

2、X-型域下二重积分的计算:

应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。先计算截面面积。oax0

bxyzoax0

bxyz

这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[

1(x0),

2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其面积为：一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：

于是，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式oax

bxyz---先对y积分，后对x

积分的二次积分【累次积分】就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从

1(x)到

2(x)的定积分；再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。这样的二次积分也常记作1）积分次序:X-型域先Y后X;2）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。类似可得体积计算公式3、Y-型域下二重积分的计算：一般地必须是X－型必须是Y－型当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则说明:

(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.要依被积函数及积分域两方面的情况选定积分顺序。确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的，一定要做到熟练、准确。要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。4、二重积分计算的一般方法【化为两次单积分】其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则例1.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:

为计算简便,先对x后对y积分,及直线则例2.

计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例3.计算例4.

求两个底圆半径为R

的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为【P58例4】①由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图②由积分区域按新的积分顺序确定积分限。4、交换积分顺序解积分区域如图y1y＝2

xO12x2D1D2例6

交换次序解练习：

改变以下二次积分的积分次序1o2xy1yxy解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例7.交换下列积分顺序D位于x轴上方的部分为D1,当D关于y

轴对称,f关于变量x有奇偶性时,有类似结果.在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则在第一象限部分,则有5、对称区域上的积分设函数其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,例8.计算当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。二、利用极坐标系计算二重积分1直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：面积元素或一般地有换元积分公式：（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：（4）极坐标系下区域的面积相当于二重积分的换元法2极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。D：（1）区域如图1具体地（如图）图1D：（2）区域如图2图2D：（3）区域如图3图3（4）区域如图4D：若f≡1则可求得D的面积图4例9将化为在极坐标系下的二次积分。（1)（2）（3）（4）（1）解在极坐标系中，闭区域D:（2）在极坐标系中，闭区域D:（2）在极坐标系中，闭区域D:（3）在极坐标系中，闭区域D:（4）在极坐标系中，闭区域D:思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)解例11.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.例12.计算解:设利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式①【P61例7】注:【另一证明】上式不等式两边极限均为由夹逼准则知被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知Dyxo

【P61例8】例13.求球体定积分换元法*三、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,【公式证明】即面积元素关系为其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则例14.

计算解:

由对称性令则D的原象为的体积V.广义极坐标变换类似可得椭圆面积

例15.试计算椭球体内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则则(2)一般换元公式且则在变换下极坐标系情形:

若积分区域为•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式补充例题(3)计算步骤及注意事项练习题一练习题一答案练习题二练习题二答案思考与练习1.设且求提示:xyDD

或通过下列方法计算也可借用原函数证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，则提示:积分域如图2.交换积分顺序事实上,当D为R2时,利用上例的结果,得故①式成立.在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的