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文档简介

特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.１．曲顶柱体的体积第九章重积分

第一节二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念柱体体积=底面积╳高1播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．2步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积3２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量4二重积分的定义5积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素6在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为7二、二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.

性质1线性性质

8910解11解12解13解14如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［先y

后x］第二节二重积分的计算法15应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得16如果积分区域为：［先x后y

］17先y

后x

：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.先x后y

：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.18解积分区域如图19解设则20于是，设将D

向y

轴投影。21解22解23解24解曲面围成的立体如图.2526二、利用极坐标系计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：

1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界用极坐标表示较为简单；

2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分较为容易.

直角坐标与极坐标的转换关系为：

27所以面积元素为28二重积分化为极坐标下二次积分的公式区域特征如图29解303132解3334解35解3637第三节三重积分一、三重积分的概念381.利用直角坐标计算三重积分二、三重积分的计算如图，方法一：“先一后二”法(“穿线”法).

39得次序：先z,次y,后x.4041解424344解45原式46zxy（用极坐标计算）

47zxy48二、利用柱面坐标计算三重积分规定：49柱面坐标与直角坐标的关系为如图,三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．50

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