必修534基本不等式

Email:jtongmath@授课人：童继稀3.4基本不等式：ICM2002会标赵爽：弦图ADBCEFGHabABCDE(FGH)ab思考1：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？思考2：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？a2＋b2≥2aba＝b探究1：基本不等式的原理思考3：在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？思考4：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用分别代替a、b，可得什么不等式?思考5：不等式称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？

1两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数思考6：我们称和分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？

2两个正数的等差中项不小于它们的等比中项思考7：如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边上的高，CO为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？AB

CDO几何意义：直角三角形中斜边上的中线不小于高ab②如何用a,b表示CDCD=______①如何用a,b表示OCOC=______③OC与CD的大小关系怎样OC_____CD＞≥思考1：将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2＋b2≥2ab有什么内在联系？

探究2：基本不等式的变形思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方思考3:将不等式两边同乘以，可变通出一些什么结论？尝试练习例已知、y都是正数，求证：＋y2＋y23＋y3≥83y3理论迁移2＋b2≥2ab与都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同总结Thans!作业：PEmail:jtongmath@授课人：童继稀3.4基本不等式的应用1基本不等式有哪几种基本形式？当且仅当a＝b时等号成立2函数的最大值和最小值的含义分别是什么最大值:f≤M，且等号成立;最小值:f≥m，且等号成立知识回顾思考1:在基本不等式(a,b＞0)中,如果a·b＝P为定值，能得到什么原理？原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值探究1：基本不等式与最值原理思考2：在基本不等式(a,b＞0)中,如果a＋b＝S为定值,又能得到什么原理？原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值思考3：能否由得函数的最小值是2吗？思考4：当x≥4时,能否由得函数的最小值是4吗？

思考6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值或积的最大值,应具备哪些基本条件？一正二定三相等思考5：当x∈(0，π)时，能否由，得函数的最小值是吗？

1．下列函数中，最小值是2的是尝试练习当＝4时，y取最小值5应用举例变式1求函数的最值变式2求函数的最小值当＝－1时，y取最大值－2当＝1时，y取最小值2例1.求函数的最小值.

例3.已知,求函数的最大值.当时，y取最大值

.例2.求函数的最小值.

当＝4时，y取最小值8例5.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最大值.当时，取最大值2.

当＝4，y＝12时，＋y取最小值16例4.已知x＞0，y＞0，且,求x＋y

的最小值.在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园如果菜园的面积一定，为节省材料，就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料,就用考虑所围菜园面积最大的问题【背景材料】探究2：基本不等式求最值的实际应用思考1：如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还是变量？思考2：如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是40m思考3：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，所围成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？思考4:如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2思考5：若矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为36m的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少矩形的长为18m，宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是162m2例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？当水池底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元理论迁移例2某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要购买面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运输费900元问该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？最少费用是多少？每隔10天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用最少，最少费用是10989元2“一正,二定,三相等”;总结1最值原理：（1）若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值（2）若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值Email:jtongmath@授课人：童继稀3.4基本不等式的应用1基本不等式有哪几种基本形式？当且仅当a＝b时等号成立知识回顾2最值原理：（1）若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值（2）若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值（3）环境条件：一正二定三相等