【ch08】相对论量子力学

高等量子力学相对论量子力学第八章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助01克莱因-高登方程克莱因-高登方程01对于高速运动的粒子，必须考虑相对论效应，要求方程具有洛伦兹变换下的不变性。也就是说，当我们将时空坐标系(x,y,z,t)变换到另一时空坐标系(x′,y',z,t)时，保持等式克莱因-高登方程成立，方程在不同坐标系中具有相同的形式，式中c是光速。式(8.1)是关于时间坐标和空间坐标的二次齐次方程，时空是平权的。但薛定谔方程由能量公式做算符代换得到。它对时间的微商是一次的，对空间的微商是二次的，时空并不平权。因此，薛定谔方程不具有洛伦兹协变性。从此处看出，关键在于式(8.2),这个能量表示本来就是非相对论的。它对能量是一次式，而对动量是二次式。要使方程具有洛伦兹不变性，必须改用相对论的能量动量关系式。相对论的能量动量关系式为式中，m是粒子的静止质量。将式(8.4)两边平方，有并将上式两端的E和p都用算符关系式(8.3)代替，得式(8.5)即为克莱因-高登方程。

式(8.5)的解显然是平面波，有直接将式(8.6)代入式(8.5)后即可证明

和k满足如下关系：克莱因-高登方程这其实正是式(8.4)。但这里的问题是式(8.7)开方后可取正、负号，即于是出现了“负能量”的问题。在相对论力学中，负能量的出现几乎是不可避免的。在经典力学中，由于粒子的初始能量为正，运动过程又必须保持能量守恒，因此以后任何时刻，能量也必然为正，不会引起麻烦。在量子力学中，负能量问题必须另外考虑。因为若有负能级存在，而且按式(8.8),k越大，E负得越大。粒子从负的数值小的较高能级向负的数值大的较低能级跃迁，将不断放出能量。于是体系将不会出现稳定态。这个结果当然是不合理的。除了负能量问题外，克莱因-高登方程还存在“负概率”问题。以

乘式(8.5)的共轭复式，然后两式相减，得概率流密度J和概率密度p为克莱因-高登方程式(8.9)变为式(8.12)是概率流守恒定律。上面的推导说明克莱因-高登方程也满足概率流连续性方程。但是，当我们将p解释为概率密度时，却不可避免地会出现负概率问题。因为式(8.11)定义的概率密度并不一定是正定的，它可以取负值。原因在于，在t=0时，由于克莱因-高登方程是二阶微分方程，在求解时，它的初始条件包括又是任意给定的，所以原则上总可以令p(x,t)在某些空间区域为正，在另一些空间区域为负，或者根本全是负值。但概率密度不可能取负值，因此将p解释为概率密度存在问题。为了解释负概率问题，需要把克莱因-高登方程解释为场方程，将解释为电流密度和电荷密度，因为电荷密度ep是可正可负的。现在来证明，在非相对论极限下，克莱因-高登方程可以过渡到薛定谔方程，因而，它确实是薛定谔方程的相对论推广。当粒子运动的速度v<c时，式(8.8)简化为克莱因-高登方程令以便在方程式(8.5)中消去静质量部分，直接微商后得将式(8.16)及式(8.17)代入式(8.5),得出这正是薛定谔方程。同时，p近似为克莱因-高登方程也正是薛定谔方程所定义的概率密度。最后讨论有电磁场的情况。设粒子的电荷为e,电磁场的矢势和标势分别为

和φ,将取如下代换：克莱因-高登方程变为式(8.21)为有电磁场存在时的克莱因-高登方程。在非相对论极限下，将式(8.4)代入式(8.21),利用公式得克莱因-高登方程这正是带电为e的粒子在电磁场中运动时的薛定谔方程。应该特别强调指出，无论是式(8.21)还是式(8.23),都不含泡利自旋矩阵，因而它不能描写自旋为1/2的粒子的运动。克莱因-高登方程只适用于自旋为整数或零的玻色子。克莱因-高登方程可以写成四维协变形式。引入式(8.5)可写成在近代文献及量子场论书籍中，常引入记号克莱因-高登方程则式(8.25)可改成式(8.12)及式(8.21)可写成或者，选用

的单位，将式(8.27)和式(8.29)写成更常见的形式：克莱因-高登方程02狄拉克方程为了克服克莱因-高登方程的负概率问题，狄拉克提出了另一个具有相对论不变性的波动方程。先分析一下克莱因-高登方程出现负概率问题的原因。由于克莱因-高登方程是对时间的二阶微分方程，初始条件必须同时由定。而概率流守恒定律或连续性方程是p对时间的一阶微分方程，为使它和克莱因-高登方程一致，p必然依赖于时间的一阶微商。而又是任意的，于是就不可避免地出现负概率问题。要解决这个问题，必须把方程中对时间的微商从二阶改为一阶。但是，另一方面，由于方程必须具有洛伦兹不变性，时、空必须平权，因此，方程对空间的微商也只能是一阶的。按照这种思路，狄拉克认为，相对论波动方程仍然应当具有狄拉克方程的形式。但算符H只含对空间坐标的一级微商项和常数项。换句话说，从相对论的质能关系式(8.4)出发，但在把相应的量改成算符时，式(8.4)的右端虽然是非线性的，但形式上仍然把它写成

,式中a、β均与坐标、动量无关，于是有代入式(8.32)后，得这里，

是两个算符，它们不可能是常数，否则式(8.34)不可能满足洛伦兹不变性。a和β既然是算符，总可以用矩阵来表示。

既然是矩阵，则式(8.34)中的

也不可能是个标量函数，而只能是个列矩阵，即

称为旋量波函数。另一方面，为保证概率密度正定，概率密度的形式必然是狄拉克方程当然，p(x,)还必须满足连续性方程，而且本身必须是四维概率流矢量的时间分量。因为

是N个分量，因此

必然是N×N的方矩阵。式(8.34)实际上是旋量波函数

的分量

的N个耦合的线性微分方程。为以后将狄拉克方程写成更方便的协变形式，引入四维坐标的协变和抗变矢量，令相对论的四维不变线元是式(8.4)的第σ分量的方程式是狄拉克方程现在来确定算符

。为此，先来看看a和β必须满足的条件。这些条件有：(1)给出正确的质能关系E²=c²p²+m²c⁴;(2)算符H是厄密算符；(3)式(8.34)或式(8.41)具有洛伦兹不变性。为满足条件(1),旋量波函数

的分量

。必须满足克莱因-高登方程，即因为只有满足式(8.42),才能给出正确的质能关系。以算符流分别作用在式(8.34)的左端和右端，得比较式(8.43)和式(8.42)可见，要将式(8.43)约化成式(8.42),必须有狄拉克方程式(8.45)表示，

和β满足反对易关系。为满足条件(2),必须即

和β都必须是厄密矩阵，这样才能保证H厄密，因为矩阵

和β的本征值必然是实数。又因式(8.46),可见

和β的本征值只能是±1。另外，由式(8.5),得这暗示着

和β的阵迹必然为零，因为狄拉克方程由于Trα₁=0,同样也可以证明Trβ=0。由于矩阵的迹等于对角线上元素的和，因而矩阵α₁和β对角线上的元素中(+1)的个数必然等于(-1)的个数。这表明α₁和β的矩阵必然是偶数行和偶数列的，N必须是偶数。但N≠2,这是因为如果N=2,相互反对易的矩阵最多只能有三个，即三个泡利矩阵。但现在有四个相互反对易的矩阵

,因此最低限度必须选N=4。在β为对角的表象中，容易证明，满足式(8.44)～式(8.46)的矩阵是式中，是泡利矩阵，I是单位矩阵，满足狄拉克方程我们将N=4情况下的方程式(8.34)称为狄拉克方程。现在来求狄拉克方程的概率密度和概率流密度。以

乘式(8.34),得式(8.34)的共轭复式是以

右乘式(8.56),注意到

和β是厄密算符，得将式(8.55)和式(8.57)相减后得狄拉克方程引入概率密度p和概率流密度

，令式(8.58)可写成这正是概率流守恒定律。式(8.60)中，

是三维矢量。当然，它可以和概率密度一起，写成四维的形式，有实际上，满足反对易关系的泡利矩阵并不是唯一的。同样，满足式(8.44)～式(8.46)的矩阵α₁和β的选择也不是唯一的。式(8.53)只是一种可能的选择。如果我们做一个幺正变换S,表象中的矩阵由于狄拉克方程因此它仍然满足式(8.44)。类似地，也可以证明在新表象中也同样满足式(8.45)、式(8.46)。因而

也是适当的矩阵表示。通常，用式(8.51)和式(8.52)表示的a和β称为泡利-狄拉克表象。另外，从式(8.59)中还可以证明，若选c=1,

的物理意义实际上表示粒子的速度算符。由狄拉克方程03狄拉克方程的自由粒子解狄拉克方程的自由粒子解为了解狄拉克方程的物理性质，本节来求自由粒子所满足的狄拉克方程的解。对于自由粒子，哈密顿算符是按本章的记号，动量算符

。首先，我们看到，算符和H对易，有

动量是守恒量，即自由狄拉克粒子动量守恒。为求解自由粒子的狄拉克方程式(8.34),令使式(8.34)分离变量，得出定态的狄拉克方程是进一步，由于矩阵

和β可写成以泡利矩阵

和单位矩阵为元素的2×2矩阵，因此，可以将四分量旋量波函数

分解为两个双旋量波函数φ和x,有并将它代入式(8.69),得由于自由狄拉克粒子动量守恒，具有确定动量的态是将式(8.73)代入式(8.72),得方程式(8.74)具有非零解的条件是其系数行列式为零，即狄拉克方程的自由粒子解利用泡利矩阵的公式可求出式(8.75)的解是式中，

的正、负号分别对应于狄拉克方程的正能和负能解。将

,代入式(8.74),得式(8.78)表明，一旦

给定，Xo就可求出。

可由归一化条件确定。令归一化条件是式中，u1u₂是常数。因此，自由粒子狄拉克方程的解是狄拉克方程的自由粒子解式中，

是归一化常数，它可由确定，结果是相应于

的能谱是E=AE,=E₂a。总结以上结果，自由狄拉克粒子的能谱是正的连续谱

、负的连续谱

,在正、负连续谱

之间存在一个2mc²的能隙。现在对波函数

再做一些讨论。由于

可以在满足式(8.79)条件下取值，因此，式(8.80)实际上是四种不同的波函数。在对这些波函数进行分类之前，先注意

也是动量算符

的本征态，有对每一个确定的

,有两种态存在，一个对应正能量，=+1;另一个对应负能量，

=-1。动量是好量子数。但是，轨道角动量

并非好量子数。因为

和H不对易，可以证明狄拉克方程的自由粒子解直接利用泡利算符的对易关系可以证明轨道角动量不守恒。这意味着，狄拉克粒子必然存在内禀角动量。它和轨道角动量一起构成的总角动量才是守恒量。为找出这个内禀角动量，定义矩阵狄拉克方程的自由粒子解算符∑和H的对易关系为因此有利用式(8.85)和式(8.90),定义总角动量

为由此得出结论，狄拉克粒子存在内禀角动量

,有狄拉克方程的自由粒子解它和轨道角动量一起，合成的总角动量

称为自旋角动量。因此，自旋量子数自动包含在狄拉克方程中。狄拉克方程描述的粒子具有自旋，其值为

。它可以用来描述自旋为1/2的粒子，如电子的运动。对于狄拉克粒子，轨道角动量与自旋角动量都不是守恒量，但由它们合成的总角动量守恒。为了对自由狄拉克粒子的波函数式(8.80)进行分类，除守恒量

节外，再构造算符

。它代表

算符在动量方向上的投影。直接的计算可以证明也就是说，

也是个守恒量。因此，除能量、动量外，还存在另外一个新的好量子数。它所对应的算符

是自旋算符

在动量方向上的投影，有

称为涡度(helicity)算符，满足狄拉克方程的自由粒子解下面来求它的矩阵表示。不是普遍性，选

的方向就是z的方向，即

,于是由式(8.96)得狄拉克方程的自由粒子解是σz的本征矢。因此，自由狄拉克粒子的波函数式(8.80)可按正、负能量，正、负涡度来进行分类。将式(8.80)写成

的正、负表示正、负量，σ的正、负表示正、负涡度。波函数

。的正交归一化条件是上面的结果表明，电子存在负能态。为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论。假定在真空状态下，所有负能态都已被电子填满。因此根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为正的电子不可能跃迁到负能态中去。这种被填满的负能态称为费米海，它只起一个背景的作用。在负能态中的电子，它的能量和动量是不能观测的。只有从费米海中移去一个或多个电子时，才会产生可观测的效应。例如，由于某种外来作用，把负能态中的一个电子激发到正能态，从而使得负能态中出现一个空穴，于是这个空穴就类似于某种具有正能量的东西。这是因为，原来在负能态中的电子，能量为-Ep<0,质量为-m<0,电荷为-e<0。当它激发到正能态后，负能态中减少了上述能量、质量和电荷，出现了一个空穴，空穴的能量为+Ep>0,质量为+m>0,电荷为+e>0,狄拉克称这种空穴为正电子(positron)。它是电子的反粒子。正电子在1932年被安德逊(Andersion)在宇宙线中发现。正电子的预言及实验证明是相对论量子力学的一个重要功绩。当然，对正、负电子的严格的了解应该通过将狄拉克场y量子化后给出，有兴趣的读者可参阅量子场论方面的有关书籍。狄拉克方程的自由粒子解04电磁场中的狄拉克方程电磁场中的狄拉克方程为方便起见，我们将电磁场写成四维协变的形式。电磁场由四维矢量

描述。设狄拉克粒子的电荷为e,为满足规范不变性，它的四维动量是在电磁场中的狄拉克方程是式中，

是速度算符。现在讨论式(8.106)的非相对论极限。将

写成双旋量形式，有方程式(8.106)变成代入式(8.110)以去掉自能项，得先讨论方程式(8.112)的下面一个分量。在非相对论近似下，动能远小于静能，

同样，库仑能量也远小于静能，即

,于是有式(8.113)表明，在非相对论近似下，四旋量

中的x分量远小于φ分量，它们之间的数量级近似是电磁场中的狄拉克方程将式(8.113)代入式(8.112)的上面一个分量的方程式中，得出利用式(8.76)将式(8.115)右端的第一项化简，有将式(8.116)代入式(8.105)后，得电磁场中的狄拉克方程式(8.117)正是泡利方程。φ的两个分量描写自旋的两个自由度。由此可见，狄拉克方程确实是非

相对论量子力学中泡利方程的推广，因此，它和泡利方程一样，都描述自旋为1/2的粒子的运动。

而且自旋这个自由度，无论在相对论量子力学还是在非相对论量子力学中，它都同样存在。电磁场中的狄拉克方程05狄拉克方程的协变形式狄拉克方程的协变形式狄拉克方程具有洛伦兹协变性。在洛伦兹变换下，狄拉克方程的形式不变。因此，把狄拉克方程写成四维协变形式，会给理论计算带来方便。从狄拉克方程式(8.34)出发，以β/c乘每一项后，得式中，

满足式(8.37)。定义式(8.118)化为按照式(8.119),

(μ=0,1,2,3)是个4×4的矩阵，它的对易关系可以由矩阵β、a₁的对易关系式(8.34)～式(8.36)给出。结果是而且

是幺正矩阵，有并且它是反厄密的，有因为

矩阵满足但

矩阵是厄密矩阵而且满足由式(8.119),

矩阵的形式是狄拉克方程的协变形式通常，式(8.120)可以简写为式中引入相同指标求和的爱因斯坦记号，即在文献里，习惯上还常使用纳贝拉剑号(Nabladagger)或费曼剑号(Feymandagger)式中，

是任意四维向量。于是。式(8.120)变成狄拉克方程的协变形式或者，引入四维动量算符

，将式(8.132)写成而由电磁场存在的狄拉克方程式(8.105),有下面讨论狄拉克方程的洛伦兹不变性。四维时空中的线元是洛伦兹变换是保持四维线元不变的变换。令时空变换为则洛伦兹变换要求狄拉克方程的协变形式即于是得式(8.140)是洛伦兹变换必须满足的条件。由式(8.140)两边取行列式后得这有两种可能，即

,前者称为正洛伦兹变换，后者称为非正洛伦兹变换。狄拉克方程的洛伦兹协变性要求，做洛伦兹变换后，在

参考系中，狄拉克方程仍然具有下面形式：由于相对性原理，在

参考系中的

矩阵也应该满足对易关系狄拉克方程的协变形式而坐标系之间的变换相当于一个幺正变换，因此

之间也必然可以通过一个幺正变换相互联系，即因幺正变换不改变体系的物理性质，因此不失普遍性，可以取两个参考系之间的矩阵相同，即方程式(8.142)变为再考虑波函数的变换。由于狄拉克方程是线性方程，

之间的变换也必然是线性的，有式中，

,是洛伦兹变换所对应的矩阵，S(a)是4×4矩阵，是a的函数。注意，洛伦兹矩阵

只依赖于两坐标系之间的相对速度及两坐标系取向之闻的相互夹角。因此，S必有逆变换，既可以从参考系A出发讨论参考系B,也可以反过来从B出发讨论A,即有狄拉克方程的协变形式式(8.147)可改写为比较式(8.148)和式(8.149),得为了进一步确定变换矩阵S,我们先来求S必须满足的条件。将式(8.148)代入狄拉克方程式(8.128),得以S(a)左乘式(8.151)得利用两个坐标系之间的变换关系式(8.137),有狄拉克方程的协变形式可将式(8.152)写为比较式(8.154)和式(8.142),得或者，利用式(8.140),得出式(8.155)的另一种表述形式是式(8.156)是决定S(a)的方程式。可以证明，满足式(8.156)的解S(a)确实可以找到。例如，对于无穷小的洛伦兹变换：

是小量，矩阵S是式中狄拉克方程的协变形式是一个由γ矩阵构成的张量。直接将式(8.158)代入式(8.156)后可以证明它确实满足式(8.156)。至于一般的洛伦兹变换的S,也可以由无穷个无穷小的变换给出。另外，γ矩阵还有一些很重要的性质。可以证明，任何4×4的厄密矩阵，彼此线性独立的一共只有16个，而且它们都可以通过y矩阵表示。将这16个线性无关的矩阵记为

。β(n=1,2,…,16),则这些矩阵是上脚标S、V、T、P、A分别表示标量、矢量、张量、赝标量和轴矢量。这些矩阵有许多重要性质，例如：(1)对每一个

(n=S,V,T,P,A),均有狄拉克方程的协变形式(2)除

,使它满足利用性质(2)和(1),得两边取迹即除

外，所有其余的15个矩阵的阵迹均为零。(3)对给定的

,总可以找到另一个

,但这个

不是

,使得式中，

是一个常数，视a、b、n不同而可能取不同的值。例如式(8.164)中的f=-i,其余类推。利用性质(1)、(2)和(3),容易证明式(8.160)的16个矩阵确实线性无关。因为如若不然，必有狄拉克方程的协变形式式(8.166)乘以

,并取迹后，有因此am=0(对所有m≠S)。若

,有因此as=0,以致满足式(8.166)的所有系数an均为零，16个

线性无关。(4)

矩阵满足由式(8.158)及式(8.170)得狄拉克方程的协变形式定义

,则在坐标变换下，有因此

确实是标量。同理，还可证明，

是赝标量，

是赝矢量，

是二阶张量。所谓“赝”,指在正洛伦兹变换

下和普通非赝的相应的量变换相同，但在非正洛伦兹变换

下取反号。狄拉克方程的协变形式06较立场中的狄拉克方程考虑狄拉克粒子在接立场中的运动。电子在库仑场中的运动是这种情况的一个特例。揍立场V=V(r)的定态狄拉克方程是先讨论非相对论近似下的渐进解。令

,仿照8.3节中式(8.72)的讨论，得将能量E写成E'表示除静能外的其他能量。由式(8.174)得在非相对论近似下，

,式(8.176)近似变为较立场中的狄拉克方程将式(8.177)代入式(8.173)后得利用式(8.76),得可将式(8.178)写为在非相对论近似下，左端第二项中可以略去。右端较立场中的狄拉克方程其第二项也可略去。而式(8.181)化为较立场中的狄拉克方程式(8.186)中的

项正是讨论谱线精细结构时的相对论修正项(参见闫学群《量子力学》)。现在证明了它可以由狄拉克方程给出。讨论一般情况下接力场中的狄拉克方程式(8.172),先来考察一下这时的守恒量。如果只计及相对论修正项

,则

是完备集，

。现在要指出，对于完整的狄拉克方程式(8.172),L²不再是守恒量，[不再是好量子数，因为同样，

也不是守恒量，因为J²守恒，L²不守恒，

当然也不守恒。我们必须另外寻找新的守恒量，现在证明较立场中的狄拉克方程是守恒的。由于

=0,因此[K,β]=0。而式中，用到反对易式[A,B]

=AB+BA。推导式(8.191)时曾利用

,再利用恒等式+式中，

,可得以及较立场中的狄拉克方程代入式(8.194)后，得于是，从式(8.191)和式(8.195)得[K,H]=0,K是守恒量。同样，还可以证明

。因此在揍力场中，算符H、K、J²,J,构成完备系，它们有共同的本征函数，相应的本征值分别为

。而且，本征值x与j有关。因为较立场中的狄拉克方程因此得出它们的本征值之间满足于是有对于给定的j,x有两个值，相当于两种不同的宇称态。在非相对论极限下，K>0对应于自旋与总角动量反平行，K<0对应于自旋与总角动量平行。算符K的矩阵是如果有一个四分量的旋量波函数y,它同时是H、K、J²、J₂的本征函数，其两个二分量旋量波函数

满足较立场中的狄拉克方程由于,由式(8.202)和式(8.203)可见，分别也是L²的本征函数，它们的本征值分别记为。但注意，由组成的四旋量波函数不是L²的本征函数，因此H与L²不对易。利用式(8.202)和式(8.203)可以求出这些量子数之间满足较立场中的狄拉克方程因此，若将狄拉克方程式(8.172)的解写为其中，f，g依赖于x。

是一个归一化的与r无关的自旋和角度的函数，并且是J²、J₂、L²,当然也是S²的本征函数，因此可将方程式(8.172)分离变量。

是L²的量子数为I的球谐函数的组合。当

时，有式(8.207)和式(8.208)的系数是相应的克来布希-高登系数。将式(8.206)代入式(8.172),得较立场中的狄拉克方程注意到直接计算可以证明因为算符

上后，它的结果也是J²、J₂、L²的本征函数，而且j、m;不变，但轨道宇称反号。于是有较立场中的狄拉克方程同理可得将式(8.213)代入式(8.209)后，角度部分就完全分离了，得出径向的联立方程为为简化式(8.214),令

,得较立场中的狄拉克方程07狄拉克方程的库仑场解利用耦合方程式(8.215),可以讨论氢原子精细结构、反常塞曼效应等许多问题。作为例子，本节将讨论狄拉克方程的库仑场的解。设势场为库仑场，有引入无量纲变数方程式(8.215)变为

狄拉克方程的库仑场解与求解类氢原子的薛定谔方程相似，我们也“抓两头，带中间”,找两端的渐近行为，再求整个级数解。设代入式(8.218)后，令

项系数相等，得出对q=0,有ao、bo有非零解的条件是式(8.222)的系数行列式为零，得狄拉克方程的库仑场解

要求出束缚态解，波函数

必须可以归一化，即即u₁和u₂在原点p→0的行为必须比

慢，即s>-1/2。又因min(k)²表示k²可能取的最小值，由式(8.225)和式(8.223)得出，s不能取负根。另一方面，当

时，由于发散的原因，必须将式(8.219)和式(8.220)的级数中断为多项式。假定两个级数都在n'项中断，即在式(8.221)中令q=n'+1,得在式(8.221)中取q=n',以α₁乘式(8.221)的第一式，

乘式(8.221)的第二式，然后两式相减，得狄拉克方程的库仑场解狄拉克方程的库仑场解

联立