专题01集合（考点归纳与五大题型方法总结）（原卷版）

专题01集合【【考点归纳】考点1：集合的基本概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．【说明】①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.5．元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA．6．集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.7．常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或8．空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．考点2：集合间的基本关系1．子集（1）子集的概念：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn图表示AB如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即．②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．（3）从子集的角度看集合的相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．2．真子集的概念：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：4．真子集的性质：对于集合，，，如果，，那么．【方法技巧与总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．考点3：集合的基本运算一、并集的概念与运算1．文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3．图形语言：阴影部分为A∪B4．性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.二、交集的概念与运算1．文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2．符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3．图形语言：阴影部分为A∩B4．性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A三、全集与补集的概念与运算1．全集（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.（2）符号语言：若，则为全集.（3）图形语言：2．补集（1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.（2）符号语言：（3）图形语言：（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.考点4：集合的运算性质1．，，．2．，，．3．，，．【方法技巧与总结】（1）．（2）,．【题型归纳目录】题型一：集合中元素的特性及应用题型二：集合的表示：列举法、描述法题型三：集合与集合之间的关系及求参数题型四：集合的运算（交、并、补）题型五：集合运算有关的参数求解题型六：集合的新定义运算【【题型归纳】【题型一】集合中元素的特性及应用【例1】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．【例2】已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.【【方法技巧归纳】1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．【【变式演练】1．已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．42．（多选）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（）A． B． C． D．3．若，则实数a的取值集合为______．4．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【题型二】集合的表示：列举法、描述法【例3】（1）把集合用列举法表示为（）A． B．C． D．（2）方程组的解集可表示为（）A． B． C． D．【例4】用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；（2）反比例函数的自变量组成的集合；（3）不等式的解集【例5】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．【【方法技巧归纳】1．用列举法表示集合的3个步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．2．描述法表示集合的2个步骤【【变式演练】1．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．3．若集合，，用列举法表示________．4．10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.5．用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数的集合；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（2）被3除余数等于1的正整数组成的集合．【题型三】集合与集合之间的关系【例6】（1）已知集合，则集合的子集的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5（2）已知集合满足，则集合A可以是（）A． B． C． D．（3）满足的集合M有______个.【例7】已知集合，则集合的子集个数是（）A．4 B．8 C．16 D．32【例8】下列集合与集合相等的是（）A． B．C． D．【例9】（多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．2 B．1 C．0 D．1【例10】已知，，若，求实数的值.【【方法技巧归纳】判断集合关系的方法（1）观察法：一一列举观察．（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．（3）数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系．【【变式演练】1．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）A． B． C． D．2．①0∈{0}；②{0}；③{0，1}⊆{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．已知集合，，若，则的值为（）A．0 B． C．1 D．4．已知集合若A的子集的元素中至多有一个奇数，则这样的子集共（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个5．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围是________．6．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．（1）若a＝eq\f(1,5)，试判定集合A与B的关系；（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C.8．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【题型四】集合的运算【例10】设集合，，则（）A．B．C．D．【例11】设集合，，则（）A．B．C．D．【例12】已知全集，则（）A．B．或C．D．或【例13】（多选题）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【【方法技巧归纳】解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【【变式演练】1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝()A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．若全集U＝{0，1，2，3}且UA＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个 B．5个C．7个 D．8个4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}5．设全集，，则）等于（）A．B．C．D．6．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（）A．B．C．D．7．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．B．C．D．8．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(UA)∪B，A∩(UB)，U(A∪B)．题型五：集合运算有关的参数求解【例14】设集合,（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【例15】设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（3）若U＝R，，求实数a的取值范围．【【方法技巧归纳】由集合的补集求解参数的方法（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．（2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．【【变式演练】1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．2．已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．3．已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．（1）若A∩B＝，求实数m的取值范围．（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．4．已知集合A＝{x|2a<x<3－2a}，B＝{x|x<5a＋1}（1）若A∪B＝B，求a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围．5．已知集合，．（1）求集合；（2）当时，求；（3）若，求的取值范围．题型六：集合的新定义运算【例16】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.【例17】已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：①存在，使得为完美集；②存在，使得为完美集；③如果，那么一定不为完美集；④使得A为完美集的所有的值之和为2．其中，所有正确结论的序号是______．【【方法技巧归纳】1．集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.2．集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。【【变式演练】1．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（

）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得【【过关检测】一、选择题。1．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知集合，则（）A． B． C． D．4．集合中a的取值范围是（

）A．或 B．C．且 D．5．若，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．1或6．已知全集，则（

）A． B． C． D．7．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．8．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．169．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（）A． B． C． D．10．（2022·江苏盐城·三模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．11．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．12．已知集合，，（，），若，则（）A． B．2 C． D．113．已知集合，，则的子集个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．914．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，或，则（

）A．或 B．C． D．或15．设集合，则（

）A．或 B．C． D．二、填空题16．