充分条件与必要条件（五大题型）

1．4充分条件与必要条件【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分条件求参数取值范围题型三：根据必要条件求参数取值范围题型四：根据充要条件求参数取值范围题型五：充要条件的证明【知识点梳理】知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．知识点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题．【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2023·高一课时练习）设，则使成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设是的一个充分条件，则根据充分条件的判定得，则，故选：C.例2．（2023·高一课时练习）“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（）A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．故选：B例3．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，因为是的的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，因为，，，所以，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.变式1．（2023·全国·高一专题练习）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足；由，则，推不出，反向可推出，不满足；由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；由，则，推不出，反向可推出，不满足；故选：A变式2．（2023·高一课时练习）=的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件；故选：B.变式3．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（

）个①若是偶数,则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；对于④，若，则，故④符合题意.故选：D.变式4．（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是A． B． C． D．【答案】A【解析】因为关于的一元二次方程有实数解，所以，解得，而可以推出，所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件，故选：A．变式5．（2023·江西·高一宁冈中学校考期末）已知，则“”的一个必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要条件，由不能得到，，，比如，故选：D变式6．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校考期中）已知p，q都是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（

）A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件【答案】AB【解析】由已知得：；．是的充分条件；是的充分不必要条件；是的充要条件；是的充要条件；是的充要条件．正确的是、．故选：．【方法技巧与总结】1、判断充分条件、必要条件的注意点（1）明确条件与结论．（2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题．（3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q．2、充分条件、必要条件的两种判断方法（1）定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．（2）命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．题型二：根据充分条件求参数取值范围例4．（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是（满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足且均可）.【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，且，所以且，故可取0，故答案为：0（答案不唯一，满足且均可）例5．（2023·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意，得，但，∴，∴，即，故答案为．例6．（2023·高一单元测试）设p：实数x满足集合A＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，q：实数x满足集合B＝{x|x＜－4，或x≥－2}，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】∵p是q的充分不必要条件，∴是的真子集，∴或解得或，即实数a的取值范围或.变式7．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.【解析】（1）由题意知当时，，故或，而，故；（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，故当时，，符合题意；当时，需满足，且中等号不能同时取得，解得，综合以上，m的取值范围为或.变式8．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.(1)当时，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，集合，因为，所以.所以，（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集，而不为空集，所以，因此.【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型三：根据必要条件求参数取值范围例7．（2023·高一课时练习）已知实数满足，其中；实数x满足,若是的必要条件，求实数的取值范围．【解析】因为，即集合；实数x满足,，即集合．又因为是的必要条件，所以，所以，解得.所以实数的取值范围为：.例8．（2023·山东菏泽·高一校考期末）已知全集，集合，.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，当时，，因为全集，则或，或，因此，或.（2）易知集合为非空集合，因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.例9．（2023·高一课时练习）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以实数m的取值范围为．变式9．（2023·四川凉山·高一统考期末）已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】（1）当时，，所以（2）若选择条件①，由且得：，当时，，即；当时，，即或，即或，所以或，综上所述：的取值范围为：或．若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：，即，所以．变式10．（2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知.(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.【解析】（1）要使是的充要条件，则即，此方程组无解.所以不存在实数，使是的充要条件.（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得当时，，解得要使，则有，解得，所以综上可得，当时，是的必要条件.变式11．（2023·全国·高一随堂练习）已知集合或，．（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件．【解析】（1）的充要条件是，所以实数的取值范围是．(2)由(1)知,的充要条件是,则当时,是的一个充分但不必要条件;比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一)(3)求实数a的取值范围,使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合,故是它的一个真子集.如果时,未必有,但是时,必有,故是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型四：根据充要条件求参数取值范围例10．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有实根，故，解得或.方程有实根，故，解得.综上所述，，只有D选项符合.若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，则，两式相减得，由于，所以，所以.当时，两个方程分别为、，方程的两个根为；方程的两个根为；即方程与有一个公共实数根.综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.故选：D例11．（2023·高一单元测试）设集合，若集合，，则的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由题意，可得，因为，所以，解得，反之亦成立，所以的充要条件是．故选：A．例12．（2023·高一单元测试）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C变式12．（2023·全国·高一专题练习）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由两个集合相等可求得参数．由已知，，由p是q充要条件得，因此解得，故选：C.变式13．（2023·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为.【答案】【解析】解不等式得，因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，所以，.故答案为：.变式14．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．【答案】3【解析】由得，故，因为“”是“”的充要条件，所以，解得，所以实数m的取值是3.故答案为：3.变式15．（2023·高一单元测试）当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是．【答案】【解析】若，则，变量随的增大而增大；若，则必有，得．综上，所求的充要条件是．故答案为：变式16．（2023·山东济宁·高一校考阶段练习）集合中至多有一个元素的充要条件是

.【答案】或【解析】由已知得方程至多一个根，或，解得故答案为或【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型五：充要条件的证明例13．（2023·高一课时练习）求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件是.【解析】假设p：方程有一个根是1，q：.证明，即证明必要性：∵是方程的根，∴，即.再证明，即证明充分性：由，得.∵，∴，即.故.∴是方程的一个根．故方程有一个根是1的充要条件是.例14．（2023·高一课时练习）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．【解析】必要性：设方程与的公共根为，则，，两式相加得（舍去），将代入，得，整理得.所以.充分性：当时，，于是等价于，所以，该方程有两根，.同样等价于，所以，该方程亦有两根，.显然，两方程有公共根.故方程与有公共根的充要条件是.例15．（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.【解析】充分性：若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；必要性：由于等式对任意实数恒成立，分别将，，代入可得，解得，必要性成立，故等式对任意实数恒成立的充要条件是.变式17．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）设.(1)求证：成立的充要条件是.(2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）.【解析】（1）证明：先证充分性：，讨论：i当，继续讨论：①时，，，所以；②时，，，所以；③时，所以；当时，有成立ii当，即或①当时，②当时，，，再证必要性：，两边平方有：，，综上：成立的充要条件是.（2）因为，所以成立的充要条件.变式18．（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.【解析】先证明充分性：若，则成立．所以“”是“”成立的充分条件；再证明必要性：若，则，即，，，，，即成立．所以“”是“”成立的必要条件.综上：成立的充要条件是．变式19．（2023·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论．【解析】“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．证明：先证充分性不成立：取，此时方程有实数根，但此时，因此充分性不成立．再证必要性成立：当时，恒成立，所以方程有实数根，即必要性成立.所以“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．【方法技巧与总结】（1）证明充分性；（2）证明必要性．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（

）A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角【答案】A【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题；对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题；对选项C，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；对选项D，与的和为锐角，所以D选项为假命题．故选：A.2．（2023·青海海东·高一统考阶段练习）“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得，因为区间真包含于，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：C3．（2023·云南·高一统考期末）已知、，且，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】C【解析】取，，则，但，即“”“”；取，，则，但，即“”“”.所以，“”是“”成立的既不充分也不必要条件，C对.故选：C.4．（2023·湖北黄冈·高一校联考期中）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，解得，因为，所以是“”的充分不必要条件.故选：A．5．（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（）A．p：，q：B．p：，q：C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：，q：关于x的方程有唯一解【答案】D【解析】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p，所以p是q既不充分也不必要条件；对于B，；当时，满足，但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则，所以，故p是q的充分必要条件.故选：D.6．（2023·高一课时练习）关于x的方程，以下命题正确的个数为（

）（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错；对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，.充分性：由可得，所以及,方程有一正根和一负根，（2）对；对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错.故选：B7．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的充分不必要条件；正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的充分不必要条件，所以，，因为是的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，所以是的充要条件；命题①正确，因为，，，所以，若，则，，，故，与矛盾，所以，所以是的充分不必要条件，命题②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.8．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要条件为：，对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件；对于B，由，得，是“”成立的充要条件；对于C，是“”成立的必要不充分条件；对于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要条件.故选：C.二、多选题9．（2023·全国·高一随堂练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（）A．“”是“”的充分条件但不是必要条件B．“”是“”的必要条件但不是充分条件C．“”是“”的充要条件D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件【答案】ACD【解析】∵非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，∴由，即：“”是“”的必要条件.由，或.∵B不是A的子集，∴不一定有，即，所以“”不是“”的充分条件.即仅有B正确．故选：ACD.10．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由可得：，解得：，设，，若p是q的必要非充分条件，所以真包含于A，所以或或均满足.故选：BCD.11．（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为集合或，当时，，解得，此时，当时，，解得，若，则，解得，又，则，则的充要条件为，所以的必要不充分条件可能是，，故选：AB．12．（2023·江苏苏州·高一校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（

）A．B．C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件.【答案】BC【解析】对A，因为，由可得，所以，A错；对B，，B对；对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即；必要性：若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“”，C对；对D，若整数a，b满足，则，所以，故；若，则可能有，故整数a，b满足”是“”的充分不必要条件，D错故选：BC三、填空题13．（2023·高一课时练习）一次函数的图象不过第三象限的一个充分条件是（答案不唯一）【答案】【解析】要使不过第三象限，则且这是一个等价条件，而要写出一个充分条件，故可取.故答案为：.14．（2023·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有（1）若是无理数，则是无理数．（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．（3）若，则.（4）若和都是偶数，则是偶数．【答案】（1）（2）（4）【解析】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数，所以是无理数，所以，所以是的必要条件．（2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件．（3）若，则或；所以，所以是的不必要条件．（4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件．故答案为：（1）（2）（4）.15．（2023·高一单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的条件．【答案】充分必要【解析】若，则，则，故成立，若，则，所以，所以“”是“”的充要条件，故答案为：充分必要16．（2023·湖北宜昌·高一校联考期中）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是．【答案】或【解析】，，即，解得或或“”是“”的必要条件，，且恒成立则或，解得或．故答案为：或四、解答题17．（2023·高一课时练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）．(1)数a能被6整除，数a能被3整除；(2)，；(3)有两个角相等，是正三角形；(4)，，.【解析】（1）因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以，但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要条件.（2）因为能推出，即；但当时，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要条件.（3）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形