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文档简介

第4章

向量与线性方程组主要内容n维向量及其线性运算向量及其线性组合向量的线性相关性向量组的秩向量空间线性方程组解的结构§4.6线性方程组解的结构本节主要内容齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则(2)

称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明证明证毕.（2）若为的解，为实数，则也是的解．１．基础解系的定义二、基础解系及其求法例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有２．线性方程组基础解系的求法ïîïíì+=+=.7475,7372432431xxxxxx

便得3．齐次线性方程组解集的性质定理线性方程组的解集的秩设矩阵的秩，则元齐次证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组

的通解为３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等行变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例4

求解方程组解即得对应的齐次线性方程组的基础解系解例5

求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组求基础解系

令依次得求特解所以方程组的通解为故得基础解系另一种解法则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.(

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