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文档简介

第7章

线性空间与线性变换主要内容：线性空间的定义与性质线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式子空间的定义、判定，子空间的运算线性变换的定义及运算线性变换的矩阵线性变换的特征值与特征向量§7.3子空间的定义及运算

本节主要内容：

一、子空间的定义及判定

二、生成子空间

三、子空间的交与和定义1设为数域上的线性空间,是的一个非空子集.如果关于中定义的加法和数乘运算也构成数域上的线性空间,则称是的线性子空间,简称子空间.定理1设是数域上的线性空间,

是的一个非空子集,则是的一个子空间的充分必要条件是（1）若,则（2）若则;,.例1判断下列子集是否构成上的子空间:

(1),给定矩阵

(2)解

(1)显然

所以是非空集合.对任意有则所以对任意有所以所以是的子空间.（2）显然所以所以是非空集合.而但所以不是的子空间.§7.3子空间的定义及运算

本节主要内容：

一、子空间的定义及判定

二、生成子空间

三、子空间的交与和是由设是数域上线性空间中的一组向量,设这组向量所有可能的线性组合的集合为.则是的一个子空间,称生成的子空间,记为称为的生成元.

极大无关组为

例2

试求由向量组，，生成的子空间的基和维数.解

设，由于，故向量组的秩为2，所以.的基为，.§7.3子空间的定义及运算

本节主要内容：

一、子空间的定义及判定

二、生成子空间

三、子空间的交与和定义2设是线性空间的两个子空间,则,分别称为与的交与和．定理2设、是维线性空间的两个子空间,也是的子空间;（1）（2）也是的子空间.则定理3设是数域上维线性空间的一个维子空间,

是的一组基,则必可扩充为线性空间的基.也就是说,在线性空间中必定可以找到个向量使得,是的一组基.定理4设和是数域上线性空间的两个子空间,则.例3设其中,,;,求子空间和的基与维数.解

因为,并且于是由定理4知,因为又所以是的一组基.,,,,,,,中每个元素定义3设和是数域上的线性空间的两个子空间,如果的分解式是唯一的,则称为直和,记为.定理5设和是数域上的线性空间的两个子空间,则以下结论等价：（1）子空间与的和是直和;（2）零向量的分解式是唯一的;（3）;（4）设的一组基为,基为,则构成的一组基;（5）的一组.例4设是数域上全体阶方阵构成的线性空间,与分别是阶对称矩阵与反对称矩阵的集合,证明与是的子空间,且.证

由于是的非空子集.

对,有所以,,,所以.,.由定理1知是的子空间.

同理可证也是的子空间.

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