赤峰市翁牛特旗乌丹二中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中高二(下）期中数学试卷（理科）一、本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i3+i4+…+i2005的值为（）A．﹣i B．i C．1 D．02．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从α，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．过曲线y=x3+1上一点（﹣1,0），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）A．y=3x+3 B．y=+3 C．y=﹣﹣ D．y=﹣3x﹣34．设f′（x）是函数f（x）的导函数,y=f′（x）的图象如图，则y=f（x)的图象最有可能的是（）A． B． C． D．5．二项式（a+b）2n的展开式的项数是（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2（n+1)6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．6487．对于二项式的展开式（n∈N＊）,四位同学作出了四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N＊，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项；④存在n∈N＊，展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是（）A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．②与④8．在数学归纳法证明“1+a+a2+…+an=（a≠1，n∈N*）”时，验证当n=1时,等式的左边为（）A．1 B．1﹣a C．1+a D．1﹣a29．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q(2，﹣1）处的切线平行于直线y=x﹣3，则抛物线方程为(）A．y=3x2﹣11x+9 B．y=3x2+11x+9 C．y=3x2﹣11x﹣9 D．y=﹣3x2﹣11x+910．复数z=（m∈R）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．下列说法正确的是（）A．函数y=｜x|有极大值，但无极小值B．函数y=｜x｜有极小值,但无极大值C．函数y=|x｜既有极大值又有极小值D．函数y=|x|无极值12．如图,阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣2 C． D．二、填空题13．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有种．14．在（1+x+x2）(1﹣x）10的展开式中，含x4的系数为．15．若复数z=log2(x2﹣3x﹣3）+ilog2（x﹣3）为实数，则x的值为．16．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为．三、解答题（共70分）17．（10分）计算：（1）(1﹣i)(1+i)2﹣（﹣i）+﹣4i；（2）﹣．19．（12分)已知函数f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1)，且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．求f（x）的解析式．20．（12分）在（2﹣）6的展开式中，求：（1)第3项的二项式系数及系数．（2）含x2的项．21．（12分）设关于x的方程是x2﹣（tanθ+i）x﹣（2+i）=0．(1）若方程有实数根,求锐角θ和实数根;（2）证明：对任意θ≠kπ+（k∈Z)，方程无纯虚数根．22．(12分)已知f（x)=ax3+3x2﹣x+1在R上是减函数，求a的取值范围．

2016-2017学年内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本卷共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i3+i4+…+i2005的值为（）A．﹣i B．i C．1 D．0【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的周期性、运算法则即可得出．【解答】解:i2003=（i4）500•i3=i3i3+i4+…+i2005====1．故选：C．【点评】本题考查了复数的周期性、运算法则,属于基础题．2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从α，b,c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有(）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】直接由排列与组合的概念逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组,可分两步，第一步是从甲、乙、丙三名同学中选出两名，是组合问题，然后安排参加数学和物理学习小组，与顺序有关，属排列问题；对于②，从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动，只是要求选出即可，属组合问题，不涉及排列;对于③，从α，b，c，d四个字母中取出2个字母，只是要求选出即可,属组合问题,不涉及排列；对于④，从1,2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数，需要先选出再排序，属排列问题．故选:B．【点评】本题考查排列的概念，考查学生理解问题的能力，是基础题．3．过曲线y=x3+1上一点（﹣1,0），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）A．y=3x+3 B．y=+3 C．y=﹣﹣ D．y=﹣3x﹣3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=﹣1处的导数值，得到与该点处的切线垂直的直线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由线y=x3+1，得y′=3x2，∴y′｜x=﹣1=3，则过曲线y=x3+1上一点（﹣1，0)且与该点处的切线垂直的直线的斜率为，∴直线方程为y﹣0=(x+1)，即y=﹣﹣．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．4．设f′（x）是函数f(x）的导函数，y=f′（x）的图象如图,则y=f（x）的图象最有可能的是（)A． B． C． D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】直接根据导函数在x∈（0，2)上的符号得到原函数在x∈（0，2）上的单调性，由此可得结论．【解答】解：因为函数y=f(x)的导函数在x∈（0，2)时恒大于0,所以原函数y=f(x）的图象在x∈（0，2）时为增函数．选项中只有C符合．故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．5．二项式（a+b）2n的展开式的项数是（)A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2（n+1）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】（a+b）2n=+…+可得项数．【解答】解:（a+b）2n=+…+∴二项式（a+b）2n的展开式的项数是2n+1，故选:B．【点评】本题考查了二项式展开式,属于基础题．6．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（)A．324 B．328 C．360 D．648【考点】D3：计数原理的应用．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．7．对于二项式的展开式（n∈N＊），四位同学作出了四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是（）A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．②与④【考点】DA：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，1得到n满足的条件，得到选项．【解答】解：展开式的通项为Tr+1=Cnrx4r﹣n（其中r=0,1，2,…n)令4r﹣n=0得r=故当n是4的倍数时，展开式存在常数项故①对②不对令4r﹣n=1得r=故当n+1是4的整数倍时，展开式中有x的一次项，故③不对④对故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式，解决二项展开式的特定项问题．8．在数学归纳法证明“1+a+a2+…+an=(a≠1，n∈N＊)”时，验证当n=1时，等式的左边为（）A．1 B．1﹣a C．1+a D．1﹣a2【考点】RG：数学归纳法．【分析】验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解:当n=1时，易知左边=1+a，故选：C．【点评】本题考查了数学归纳法中的归纳奠基步骤，本题较简单，容易解决．不要把n=1与只取一项混同．9．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，﹣1）处的切线平行于直线y=x﹣3，则抛物线方程为（）A．y=3x2﹣11x+9 B．y=3x2+11x+9 C．y=3x2﹣11x﹣9 D．y=﹣3x2﹣11x+9【考点】KN:直线与抛物线的位置关系；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程;KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】先求导数y′=2ax+b,而根据条件知抛物线过点P（1，1）,Q（2,﹣1），以及在Q点的切线斜率为1，这样便可得出关于a,b，c的方程组，解出a,b，c便可得出抛物线的方程．【解答】解:∵y′=2ax+b,∴抛物线在点Q(2，﹣1）处的切线斜率为:4a+b；根据条件知抛物线过P，Q点，过Q的切线斜率为1；∴；解得；∴抛物线方程为y=3x2﹣11x+9．故选：A．【点评】考查函数在某点的导数和过该点切线斜率的关系，以及平行直线的斜率关系，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系．10．复数z=（m∈R）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后分别由实部和虚部大于0、小于0求解m的范围判断．【解答】解：z==，若，得m＞1；若,得﹣4＜m＜1；若，得m∈∅；若，得m＜﹣4．∴复数z=（m∈R）不可能在第二象限．故选:B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．11．下列说法正确的是（）A．函数y=|x|有极大值，但无极小值B．函数y=|x｜有极小值，但无极大值C．函数y=｜x|既有极大值又有极小值D．函数y=|x｜无极值【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数y=｜x｜的图象，得出结论．【解答】解：根据函数y=｜x|的图象,可得函数y有极小值，但无极大值,故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象，函数的极值,属于基础题．12．如图，阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣2 C． D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=(3x﹣）｜=;故选C．【点评】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．二、填空题13．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有30种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】设O为命中X为未命中．将连续的两次命中（OO）一起考虑,将OO和O插入到XXXXX中，利用插空法能求出结果．【解答】解：设O为命中，X为未命中．将连续的两次命中（OO）一起考虑，将OO和O插入到XXXXX中，不能插在一起．由于共有6处可以插入,所以为n==6×5=30．故答案为:30．【点评】本题考查排列数的应用，是中档题，解题时要注意插空法的合理运用．14．在（1+x+x2)（1﹣x）10的展开式中，含x4的系数为135．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先将多项式展开,转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可．【解答】解：∵(1+x+x2）（1﹣x）10=（1﹣x）10+x(1﹣x）10+x2（1﹣x）10∴（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为（1﹣x）10的含x4的系数加上其含x3的系数加上其含x2项的系数∵（1﹣x)10展开式的通项为Tr+1=C10r（﹣x）r令r=4，3，2分别得展开式含x4，x3，x2项的系数为C104，﹣C103，C102故（1+x+x2)(1﹣x）10展开式中含x4的系数为C104﹣C103+C102=135，故答案为135【点评】本题考查等价转化能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．15．若复数z=log2（x2﹣3x﹣3)+ilog2（x﹣3）为实数，则x的值为4．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由虚部为0且实部的真数大于0列式求得x值．【解答】解：∵复数z=log2（x2﹣3x﹣3)+ilog2(x﹣3)为实数，∴，解得：x=4．故答案为:4．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16．函数f(x)=x3﹣3x的单调减区间为（﹣1，1）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导函数，令导函数小于零,解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x的单调递减区间．【解答】解：令y′=3x2﹣3＜0解得﹣1＜x＜1,∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1)．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题主要考查了学生利用导数研究函数的单调性，一般步骤是先求定义域，然后令f'(x）＞0求出单调增区间，令f’（x）＜0求出单调减区间,属于基础题．三、解答题（共70分）17．（10分）（2017春•翁牛特旗校级期中)计算：（1)（1﹣i）（1+i）2﹣（﹣i）+﹣4i；(2)﹣．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1)直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值；（2）把第一个分式的分母先平方,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：(1）(1﹣i）（1+i）2﹣（﹣i)+﹣4i==2i+2﹣=1﹣i；(2)﹣===．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查计算能力，是基础题．19．(12分)（2017春•翁牛特旗校级期中)已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．求f（x）的解析式．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可知f(0）=1，f（1)=﹣1，f′（1）=1,得到关于a，b，c的方程,解出即可．【解答】解：由题意可知f（0）=1，f（1）=﹣1,f′（1)=1，∴解之得．∴f（x）=．【点评】本题考查导数的几何意义:曲线在该点处的切线的斜率，考查运算求解能力，属于基础题．20．(12分）（2017春•翁牛特旗校级期中）在（2﹣）6的展开式中,求：(1）第3项的二项式系数及系数．(2）含x2的项．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】(1）由条件利用二项式展开式的通项公式，第r+1项的二项式系数的定义、第r+1项的系数的定义，求得第3项的二项式系数及系数．（2)先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2,求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．【解答】解：（1）第3项的二项式系数为=15，第三项的系数为T3=•24•（﹣1）2=240．（2）通项公式为Tk+1=•26﹣r•（﹣1)r•x3﹣r，令3﹣r=2,可得r=1，故含x2的项为第2项，且T2=﹣192x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质,注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，二项式展开式的通项公式，属于基础题．21．（12分）（2017春•