2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4-1 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示　空间中直线、平面的平行 课件（51张）

1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行课程标准素养目标1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中直线、平面平行关系的判定定理.1.掌握空间点、线、面的向量表示(直观想象).2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量(数学运算).3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题(逻辑推理).课前自主学习主题1

用空间向量表示点、线、面1.如何用空间向量确定一个点在空间的位置?2.在空间中给出一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?3.给出一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?4.给出一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?=ta

=t=+ta

=+t

+x+y

方向向量a

【对点练】1.(2022·延安高二检测)下列说法中正确的是(

)A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的【解析】选B.直线上的向量e以及与向量e共线的非零向量都可以作为直线的方向向量,故A,C错误;表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α时,则向量n是平面α的法向量,则D选项错误.

主题2

空间向量与平行关系1.若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两个向量满足哪些条件可说明直线与平面平行?提示:可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行.2.若两平面平行,则其中一个平面内的任一条直线的方向向量a=(a1,a2,a3)与另一平面的法向量b=(b1,b2,b3)的关系如何?提示:两向量的关系为垂直,即a⊥b,则(a1,a2,a3)·(b1,b2,b3)=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0.结论:1.直线与直线平行的判定设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则:l1∥l2⇔_______⇔∃λ∈R,使得u1=____.2.直线与平面平行的判定设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则:l∥α⇔_____________.3.平面与平面平行的判定设n1,n2分别是不重合的两个平面α,β的法向量,则:α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=____.u1∥u2λu2u·n=0λn2⇔u⊥n

【对点练】1.空间直角坐标系中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 (

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定2.已知线段AB的两端点坐标分别为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与 (

)A.平面Oxy平行

B.平面Oxz平行C.平面Oyz平行

D.平面Oyz相交探究点一

直线的向量参数方程及平面的法向量【典例1】(1)若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)(2)已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的一个法向量.课堂合作探究

【类题通法】利用待定系数法求平面法向量的步骤

2.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论:①直线DD1

的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为 (

)A.1 B.2

C.3

D.43.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面BDD1B1的一个法向量;(2)平面BDEF的一个法向量.探究点二

空间中的线线平行问题【典例2】已知O为坐标原点,在四面体OABC中,A,B,C的坐标分别为A(0,3,5),B(1,2,0),C(0,5,0),若直线AD∥BC且AD交坐标平面Oxz于点D,求点D的坐标.【思维导引】先设出D点坐标,由AD∥BC得出直线AD与BC的方向向量的关系,进而求出点D的坐标.【类题通法】向量法处理空间平行问题的两个应用(1)求字母的值:通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系,再利用向量关系构造关于字母的等量关系,进而求出字母的值.(2)求点的坐标:可设出对应点的坐标,再利用点与向量的关系,写出对应向量,将空间中点、线、面的位置关系,转化为向量的位置关系,进而建立与所求点的坐标有关的等式.【定向训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是 (

)A.异面

B.平行C.垂直不相交

D.垂直且相交2.如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.求证:直线BC∥EF.探究点三

用向量法证明线面、面面平行问题【典例3】如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥平面EFG.【思维导引】先证明AB,AD,AP两两垂直,再以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建系,证明PB的方向向量与平面EFG的法向量垂直即可.【延伸探究】若本例中条件不变,证明:平面EFG∥平面PBC.【类题通法】1.用向量证明线面平行的方法(直线在平面外)(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直.(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.2.用向量法证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为n2=(a2,b2,c2),则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k≠0,k∈