2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-3-1　抛物线及其标准方程 课件（43张）

3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课程标准素养目标1.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程.2.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念(数学抽象).2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程(数学抽象).3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程的问题(数学运算).课前自主学习主题1

抛物线的定义1.如图,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出什么图形?提示:会得到一条抛物线.2.通过作图探究你发现了抛物线的哪些结论?用文字语言描述:___________________________________________.用符号语言描述:__________.结论:抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__________的点的轨迹叫做抛物线._____叫做抛物线的焦点,______叫做抛物线的准线.动点D到定直线EF的距离等于它到定点C的距离|DA|=|DC|距离相等点F直线l

【对点练】

到直线l:x=-2与到定点P(2,0)的距离相等的点M的轨迹是(

)A.椭圆

B.圆

C.抛物线

D.直线【解析】选C.动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l:x=-2的距离相等,所以M的轨迹是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线.主题2

抛物线的标准方程

根据抛物线的几何特征,对于开口向右的抛物线如何借助坐标法求出抛物线的方程?提示:如图,建立平面直角坐标系Oxy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,依据抛物线的定义,利用直接法即可求出抛物线的标准方程.结论:抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程________________________________y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

图形标准方程焦点坐标准线方程________________________________x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

2.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为_________.

【解析】由题知点P到(0,2)的距离与到直线y=-2的距离相等,所以点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义知轨迹方程为x2=8y.答案:x2=8y

探究点一

抛物线的定义及应用【典例1】设点P是抛物线y2=4x上的一个动点,焦点为F,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为____________.

【解析】如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:4课堂合作探究【类题通法】利用定义求最值与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.其途径为“看到准线想焦点,看到焦点想准线”.

【补偿训练】

若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是(

)A.y2=8x

B.y2=-8xC.y2=4x

D.y2=-4x【解析】选A.由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x+1=0的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.探究点二

求抛物线的标准方程【典例2】顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是(

)A.y2=-4xB.x2=4yC.y2=-4x或x2=4yD.y2=4x或x2=-4y【思维导引】设出抛物线方程的标准形式,依据条件求出p的值.【解析】选C.因为抛物线的顶点在原点,且过点(-4,4),所以设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0),将点(-4,4)的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py(p>0)得:16=8p,所以p=2,所以此时抛物线的标准方程为x2=4y;将点(-4,4)的坐标代入抛物线的标准方程y2=-2px(p>0),同理可得p=2,所以此时抛物线的标准方程为y2=-4x.综上可知,顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是y2=-4x或x2=4y.

【类题通法】1.抛物线的“一动三定”抛物线的定义可归为“一动三定”,即“一个动点

M”“一个定点

F”“一条定直线

l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线,“定值”指点M到点

F

的距离与它到定直线

l(准线)的距离之比等于1.2.抛物线标准方程的特征(1)等号的一边是某变量的完全平方,另一边是另一变量的一次项.(2)当对称轴为x轴时,方程中的一次项就是x的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:x的系数为正时开口向右,为负时开口向左.(3)当对称轴为y轴时,方程中的一次项就是y的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:y的系数为正时开口向上,为负时开口向下.【定向训练】1.已知点F(0,3)和直线l:y=-3,点M是直线l上的动点,过点F作直线FM的垂线,与直线l相交于点N,过点M作直线l的垂线与直线NO相交于点Q,则点Q的轨迹方程为(

)A.x2=4y

B.x2=8yC.x2=12y

D.x2=16y【解析】选C.如图,设点Q(x,y),则M(x,-3),设点N(xN,-3),因为MF,FN垂直,所以·=0,所以(-x,6)·(xN,-6)=0,所以-x·xN-36=0,所以x·xN=-36,因为点Q,O,N共线,所以(x,y)=μ(xN,-3),所以yxN=-3x,消去xN整理得x2=12y.

【补偿训练】

根据下列条件,求顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程.(1)焦点为(-2,0).(2)准线为y=-1.(3)焦点到准线的距离是4.(4)过点(1,2).

探究点三

抛物线的实际应用【典例3】河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8m,拱圈内水面宽24m,一条船在水面以上部分高6.5m,船顶部宽6m.(1)试建立适当的直角坐标系,求拱圈所在的抛物线标准方程;(2)近日水位暴涨了1.6m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞,试问:船身至少应该降低多少.【思维导引】(1)根据图形建立直角坐标系,设出拱圈所在的抛物线方程,设拱圈与水面两交点分别为A,B,由坐标系可知A,B两点的坐标,将其中一个代入抛物线方程,即可得;(2)根据船顶宽6m,可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h,再由6.5+1.6-(8-h),可知船身应降低的高度.【解析】(1)设抛物线形拱圈与水面两交点分别为A,B,以AB垂直平分线为y轴,拱圈最高点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(-12,-8),B(12,-8),设拱圈所在的抛物线方程为x2=-2py(p>0),因点A(-12,-8)在抛物线上,代入解得p=9,故拱圈所在的抛物线方程是x2=-18y;(2)因为x2=-18y,故当x=3时,y=-0.5,故当水位暴涨1.6m后,船身至少应降低6.5+1.6-(8-0.5)=0.6m,故船身至少应降低0.6m,才能安全通过桥洞.【类题通法】抛物线应用题的解法(1)解题关键:把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.

(2)建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.【定向训练】

某中学张燕同学不仅学习认真,而且酷爱体育运动,经过艰苦的训练,终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩.已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线(人的身高不计,铅球看成一个质点),如图所示,设初速度为定值v0,且与水平方向所成角为变量θ,已知张燕投铅球的最远距离为10m.当她投得最远距离时,铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____________m.(空气阻力不计,重力加速度为10m/s2)

2.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).【解析】如图所示,(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=10p,p=2.5,