2024届黑龙江省哈尔滨市尚志市数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析

2024届黑龙江省哈尔滨市尚志市数学九年级第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作⊙，⊙与轴交于、，与轴交于点，为⊙上不同于、的任意一点，连接、，过点分别作于，于．设点的横坐标为，．当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，下列图象中能表示与的函数关系的部分图象是（）A． B． C． D．2．如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．3．如图，函数与函数在同一坐标系中的图象如图所示，则当时（）．A．1x1 B．1x0或x1 C．1x1且x0 D．0x1或x14．已知压强的计算公式是p＝，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝．如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是()A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大5．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（）A． B． C． D．6．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点；；；抛物线的顶点坐标为；当时，y随x增大而增大其中结论正确的是A． B． C． D．7．如图，、两点在双曲线上，分别经过点、两点向、轴作垂线段，已知，则()A．6 B．5 C．4 D．38．一元二次方程x2＝9的根是（）A．3 B．±3 C．9 D．±99．下列各说法中：①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④同弧所对的圆周角相等；⑤90°的圆周角所对的弦是直径；⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个10．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（）A．3 B．5 C．8 D．1011．若点A(-3，m)，B(3,m)，C(-1，m+n²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是()A．y＝x+2 B． C．y＝x²+2 D．y＝-x²-212．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．在矩形中，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为：__________．14．如图，在中，是斜边的垂直平分线，分别交于点，若，则______．15．若方程有两个相等的实数根，则m=________．16．在等腰中，，点是所在平面内一点，且，则的取值范围是______．17．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是__________________．18．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标分别是，与轴交于点．点在第一、二象限的抛物线上，过点作轴的平行线分别交轴和直线于点、．设点的横坐标为，线段的长度为．⑴求这条抛物线对应的函数表达式；⑵当点在第一象限的抛物线上时，求与之间的函数关系式；⑶在⑵的条件下，当时，求的值．20．（8分）（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3（解决问题）如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．21．（8分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长．22．（10分）如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题：⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值；⑶当t的值为，△AMN是等腰三角形．23．（10分）解方程：（l）（2）（配方法）．24．（10分）如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）证明：∠CAD＝∠CDF；（3）若∠F＝30°，AD＝，求⊙O的面积．25．（12分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+1．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）24……10市场需求量q（百千克）1210……4已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理；①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为多少时，y有最大值，并求出最大利润．26．飞行员将飞机上升至离地面米的点时，测得点看树顶点的俯角为，同时也测得点看树底点的俯角为，求该树的高度(结果保留根号).

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】由题意，连接PC、EF，利用勾股定理求出，然后得到AB的长度，由垂径定理可得，点E是AQ中点，点F是BQ的中点，则EF是△QAB的中位线，即为定值，由，即可得到答案.【题目详解】解：如图，连接PC，EF，则∵点P为（3，0），点C为（0，2），∴，∴半径，∴；∵于，于，∴点E是AQ中点，点F是BQ的中点，∴EF是△QAB的中位线，∴为定值；∵AB为直径，则∠AQB=90°，∴四边形PFQE是矩形，∴，为定值；∴当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，y的值不变；故选：A.【题目点拨】本题考查了圆的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线，根据所学性质进行求解，正确找到是解题的关键.2、B【分析】阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC和△ABD的面积再加上△ABE的面积，因为△ABE的面积是△ABC的面积和△ABD的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE的面积，然后分别计算出即可.【题目详解】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为⊙O的直径..，如图，连接，则，故选.【题目点拨】此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE的面积是解题的关键.3、B【分析】根据题目中的函数解析式和图象可以得到当时的x的取值范围，从而可以解答本题．【题目详解】根据图象可知，当函数图象在函数图象上方即为，∴当时，1x0或x1.故选B.【题目点拨】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于利用函数图象解决问题.4、D【解题分析】如果刀刃磨薄，指的是受力面积减小；刀具就会变得锋利指的是压强增大．故选D.5、A【分析】根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律即可确定答案．【题目详解】解：抛物线y=-3x2向右平移1个单位的解析式为：y=-3（x-1）2；再向下平移2个单位，得：y=-3（x-1）2-2.故选：A．【题目点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键．6、C【解题分析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（0，0），故①正确，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故②错误，∵，得4a+b=0，b=﹣4a，∵抛物线过点（0，0），则c=0，∴4a+b+c=0，故③正确，∴y=ax2+bx=a（x+）2﹣=a（x+）2﹣=a（x﹣2）2﹣4a=a（x﹣2）2+b，∴此函数的顶点坐标为（2，b），故④正确，当x＜1时，y随x的增大而减小，故⑤错误，故选C．点睛：本题考查二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的图象和性质进推理判断是解题的关键.7、C【解题分析】欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出S1+S1．【题目详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=2，

∴S1+S1=2+2-1×1=2．

故选：C．【题目点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．8、B【解题分析】两边直接开平方得：，进而可得答案．【题目详解】解：，两边直接开平方得：，则，．故选：B．【题目点拨】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．9、A【分析】根据对称轴、等弧、圆周角定理、三角形外接圆的定义及弦、弧、圆心角的相互关系分别判断后即可解答．【题目详解】①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，①错误；②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同圆或等圆中不一定是等弧，②错误；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，③错误；④根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，④正确；⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，⑤正确；⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，⑥正确．综上，正确的结论为③④⑤.故选A．【题目点拨】本题了考查对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义及其相互关系，熟练运用相关知识是解决问题的关键．10、C【解题分析】试题分析：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，而其概率为，因此可得=，解得n=8.故选B．考点：概率的求法11、D【分析】先根据点A、B的坐标可知函数图象关于y轴对称，排除A、B选项；再根据点C的纵坐标大于点A的纵坐标，结合C、D选项，根据y随x的增减变化即可判断.【题目详解】函数图象关于y轴对称，因此A、B选项错误又再看C选项，的图象性质：当时，y随x的增大而减小，因此错误D选项，的图象性质：当时，y随x的增大而增大，正确故选：D.【题目点拨】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.12、B【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．【题目详解】A根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B【题目点拨】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】首先利用三角函数求的∠DAE的度数，然后根据S阴影=S扇形AEF−S△ADE即可求解．【题目详解】解：∵，AE=AB，

∴AD=2,DE==2，

∴Rt△ADE中，cos∠DAE==，

∴∠DAE=60°，

则S△ADE=AD⋅DE=×2×2=2，S扇形AEF==，

则S阴影=S扇形AEF−S△ADE=-2．

故答案为．【题目点拨】本题考查了扇形的面积公式和三角函数，求的∠DAE的度数是关键．14、2【分析】连接BF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，再根据等边对等角的性质求出∠ABF=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBF，再根据三角函数的定义即可求出CF．【题目详解】如图，连接BF，

∵EF是AB的垂直平分线，

∴AF=BF，

∴，，在△BCF中，∴，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角函数的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．15、4【解题分析】∵方程x²−4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b²−4ac=16−4m=0，解之得，m=4故本题答案为：416、【分析】根据题意可知点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的上，然后画出图形，找到P点离C点距离最近的点和最远的点，然后通过勾股定理求出OC的长度，则答案可求．【题目详解】∴点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的上如图，连接CO交于点，并延长CO交于点当点P位于点时，PC的长度最小，此时当点P位于点时，PC的长度最大，此时故答案为：．【题目点拨】本题主要考查线段的取值范围，能够找到P点的运动轨迹是圆是解题的关键．17、【分析】作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．【题目详解】如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=HE=，OG=GF=，即OH=OG，又∵OB=OD，∴Rt△OHB≌Rt△OGD，∴HB=GD，同理，可得AH=CG=HB=GD∴AB=CD又∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△OHA中，由勾股定理得：AH=∴AB=∴四边形ABCD的面积=AB×GH=．故答案为：．【题目点拨】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．18、【分析】由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．【题目详解】解：连接PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP，在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ与△CBP中，∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，因为，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴，故答案为：【题目点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）当时，，当时，；（3）或．【分析】（1）由题意直接根据待定系数法，进行分析计算即可得出函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据E点的纵坐标，可得E点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；（3）由题意根据PE与DE的关系，可得关于m的方程，根据解方程根据解方程，即可得出答案.【题目详解】解：（1）由题意得，解得∴这条抛物线对应的函数表达式是．（2）当时，．∴点的坐标是．设直线的函数关系式为．由题意得解得∴直线的函数关系式为．∵PD∥x轴，∴．∴．当时，如图①，．当时，如图②，．（3）当时，，．∵，∴．解得（不合题意，舍去），．当时，，．∵，∴．解得（不合题意，舍去），．综上所述，当时，或．【题目点拨】本题考查二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出E点的纵坐标是解题关键；利用PE与DE的关系得出关于m的方程是解题的关键．20、（1）①CF＝DG；②45°；（2）成立，证明详见解析；（3）．【分析】（1）【问题发现】连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．（2）【拓展探究】连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．（3）【解决问题】证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．【题目详解】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．∵AF＝AG．AC＝AD，∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．故答案为CF＝DG，45°．（2）【拓展探究】结论不变．理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，∵AC＝AD，AF＝AG，∴，∴△CAF∽△DAG，∴，∠AFC＝∠AGD，∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，∵∠AOF＝∠GOK，∴∠K＝∠FAO＝45°．（3）【解决问题】如图3中，连接EC．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短，易知OE的最小值为，故答案为.【题目点拨】本题考查的知识点是正方形的旋转问题，主要是利用相似三角形性质和全等三角形的性质来求证线段间的等量关系，弄清题意，作出合适的辅助线是解题的关键.21、AB＝2cm【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．【题目详解】解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD＝OA＝1cm，再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，由垂径定理得：AB＝2cm．【题目点拨】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.22、（1），；（2）t=；（3）或或【分析】（1）如图过点M作MD⊥AC于点D，利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题；（2）连接PM,交AC于D，，当四边形MNPC为菱形时，ND=，即可用t表示AD，再结合第一问的相似可以用另外一个含t式子表示AD，列方程计算即可；（3）分别用t表示出AP、AQ、PQ，再分三种情况讨论：①当AQ＝AP②当PQ＝AQ③当PQ＝AP，再分别计算即可．【题目详解】解：⑴过点M作MD⊥AC于点D．∵,；∴AB=10cm．BM=AN=2t∴AM=10-2t．∵△ADM∽△ACB∴即∴∴又∴S的最大值是；⑵连接PM,交AC于D，∵四边形MNPC是菱形，则MP⊥NC,ND=CD∵CN=8-2t∴ND=4-t∴AD=2t+4-t=t+4由⑴知AD=∴=t+4∴t=；（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，与（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4∴PQ＝＝＝，在△APQ中，①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；∵0＜t＜4，∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．【题目点拨】此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．23、（1）；（2）【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）在左右两边同时加上一次项系数-8的一半的平方后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，即可求解．【题目详解】解：（1），，，∴或，所以；（2）∵，∴，即，则，∴．【题目点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24、（1）见解析；（2）见解析；（3）π【分析】（1）连接OD，AD，证点D是BC的中点，由三角形中位线定理证OD∥AB，可推出∠ODF＝90°，即可得到结论；（2）由OD＝OC得到∠ODC＝∠OCD，由∠CAD+∠OCD＝90°和∠CDF+∠ODC＝90°即可推出∠CAD＝∠CDF；（3）由∠F＝30°得到∠DOC＝60°，推出∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，由锐角三角函数可求出AC的长，推出⊙O的半径，即可求出⊙O的面积．【题目详解】解:（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，又AB＝AC，∴BD＝CD，又AO＝CO，∴OD∥AB，又FE⊥AB，∴FE⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ADC＝∠ODF＝90°，∴∠CAD+∠