2024届一轮复习人教A版 第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用 课件（40张）

第九讲函数模型及其应用课标要求考情分析1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.1.本讲考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题.课标要求考情分析2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义2.题型以选择、填空题为主，中等难度(续表)常见函数模型函数解析式一次函数模型y＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)1.常见的函数模型常见函数模型函数解析式指数型函数模型y＝b·ax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

对数型函数模型y＝blogax＋c(a，b，c为常数，x＞0，a＞0，且a≠1，b≠0)幂型函数模型y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)对勾函数模型(续表)函数y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)

上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同2.三种函数模型的性质比较3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)解模：求解数学模型，得出数学结论.(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

考点一用函数图象刻画变化过程

1.如图2-9-1，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()图2-9-1ABCD

解析：依题意，设AD的长为xm，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a).作出函数图象可得其形状与B选项接近.故选B.答案：B

2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，图2-9-2描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()图2-9-2A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗10L汽油D.某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析：根据图象知消耗1L汽油，乙车最多行驶里程大于5km，A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，B错误；甲车以80km/h的速度行驶时燃油效率为10km/L，行驶1h，里程为80km，消耗8L汽油，C错误；最高限速80km/h，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，D正确.答案：D

3.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图2-9-3所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()图2-9-3ABCD

解析：由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.又因为PQ为线段，则这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，所以只有B选项的容器的形状符合题意.故选B.答案：B【题后反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案，选择出符合实际情况的答案.考点二构建函数模型求解实际问题

考向1构建二次函数、分段函数模型

[例1]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元. (1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数；

(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？(2)设旅行社获利S元，

因为S＝900x－15000在区间(0，30]上单调递增，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30，75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.

故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.

考向2构建指数(对数)型函数模型(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到2023年为止，该森林已砍伐了多少年？

[例3]某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的关系如图2-9-4所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.图2-9-4解析：根据题图，求得y＝－(x－6)2＋11(x>0)，∴要使年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.答案：5【题后反思】

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(最小)值中的最大(最小)值.

(2)指数型函数、对数型函数模型的解题关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.

【考法全练】

1.(考向2)基本再生数

R0与世代间隔T是某流行病学基本参数.基本再生数R0

指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间.在流行病发生的初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在流行病发生的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案：B

2.(考向3)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图2-9-5).考虑防洪堤坚固性及石块用料等米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米.

图2-9-5

3.(考向1)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件38.每件产品售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

解：(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，

综上所述，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

⊙已知函数模型求解实际问题

[例4]为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造成本与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解：(1)当x＝0时，C(0)＝8，∴k＝40，

此时x＝5，因此f(x)的最小值为70. ∴隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.【反思感悟】已知函数模型解决实际问题的关注点(1)分析所给函数模型，分清哪些量为待定系数.(2)根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.【高分训练】

1.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，