课件-第七章-哈密顿正则方程

第七章哈密顿正则方程

东北大学理学院应用力学研究所李永强第七章哈密顿正则方程东北大学理学院应用力学研究所第2页第七章哈密顿正则方程

§7.1哈密顿正则方程§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分§7.3泊松括号泊松定理§7.4正则变换§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换§7.6哈密顿－雅可比方程§7.7变量的分离第2页第七章哈密顿正则方程§7.1哈密顿正则方程第3页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形非保守系统的情形第3页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形第4页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形1.Lagrange变量与Hamilton变量Lagrange函数：；Lagrange变量：变量qj，，t称为～，其中qj为广义坐标，j=1,2,…,kHamilton以广义动量pj代替广义速度Hamilton变量：变量qj，pj，t称为～，其中pj为广义动量，j=1,2,…,kHamilton函数：哈密顿正则方程(Hamiltoncanonicalequation)：以Hamilton函数H代替Lagrange函数，用2k个关于广义坐标qj和广义动量pj为变量的一阶常微分方程组，称为哈密顿正则方程或简称正则方程。第4页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形1.Lagr第5页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形2．哈密顿正则方程的推导利用勒让德变换把以(qj,,t)为变量的Lagrange函数L变换成以(qj,pj,t)为新变量的Hamilton函数H

将Lagrange函数代入Hamilton原理，即对上式进行变分运算，得第5页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形2．哈密顿正则第6页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形将上式中的第一项改写成则有因为系统在始末位置是确定的，有于是有第6页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形将上式中的第一第7页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形根据广义动量的定义，由勒让德变换可得因此对于完整系统，由于δqj是相互独立的，且可取任何值，则即得关于变量的Hamilton正则方程第7页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形根据广义动量的第8页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形3.Lagrange函数和Hamilton函数的对比Lagrange函数L和Hamilton函数H都可看作是系统的描述函数Lagrange函数包含了位形空间中描述系统运动的全部特征；

Hamilton函数包含了相空间中描述系统运动的全部特征。Hamilton原理、Hamilton正则方程和Lagrange方程是互为等价的。4.Hamilton函数的物理意义为改写中的第一项，将广义动量代入，并利用欧拉齐次函数定理，有（Euler齐次函数的意义）第8页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形3.Lagr第9页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形因为即与广义能量积分对比，Hamilton函数H与广义能量积分意义相同。对于保守系统，则T=T2,T0=0，因此总机械能

对于保守系统，Hamilton函数H等于系统的总机械能。

5.证明：表明H的变化与系统的变化无关，仅与H是否显含t有关第9页§7.1哈密顿正则方程保守系统的情形因为即与广第10页§7.1哈密顿正则方程非保守系统的情形Hamilton原理一般式其中主动力的虚功可写成式中和分别表示有势力和非有势力的虚功。这样Hamilton原理可变为将根据勒让德变换得到的代入上式，并进行变分运算，得第10页§7.1哈密顿正则方程非保守系统的情形Hami第11页§7.1哈密顿正则方程非保守系统的情形就可得到存在非有势力作用的Hamilton正则方程

其中Q

j为系统的非有势力对应于广义坐标qj的广义力。

第11页§7.1哈密顿正则方程非保守系统的情形就可得到第12页§7.1哈密顿正则方程例7-1试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动系统的运动微分方程解：单自由度系统，x为广义坐标构造H函数对于保守系统

第12页§7.1哈密顿正则方程例7-1试用Hamilto第13页§7.1哈密顿正则方程所以消去px得：整理得第13页§7.1哈密顿正则方程所以消去px得：整理得第14页§7.1哈密顿正则方程例7-2水平直管以匀角速度

绕铅直轴旋转。管内放有用弹簧相联的两相同质量m的小球。小球可沿直管无摩擦地滑动。已知弹簧刚度系数为k，原长为l，试写出系统的Hamilton正则方程。小球尺寸略去不计。解：两个自由度，x1、x2为广义坐标，主动力均为有势力构造H函数

则第14页§7.1哈密顿正则方程例7-2解：两个自由度，x第15页§7.1哈密顿正则方程Hamilton正则方程给定初始条件后，就可得出正则变量的函数第15页§7.1哈密顿正则方程Hamilton正则方程给第16页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分系统的首次积分是方程降阶降维的基础，讨论Hamiltoncanonicequation的降阶降维问题能量积分循环积分H中不显含某些广义动量的情况第16页§7.2Hamiltoncanonicequa第17页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分能量积分如果Hamilton函数，即不显含t时，则可得则（常数）因为所以Hamiltoncanonicequation的能量积分

如果是保守系统，则T＝T2，T0＝0则即Hamiltonequation的首次积分等于总机械能（机械守恒）第17页§7.2Hamiltoncanonicequa第18页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分循环积分由H函数定义对某一广义坐标ql求偏导数代入（勒让德变换，或定义广义动量），得因此，如果在Lagrange函数中存在某个循环坐标ql，则在Hamilton函数中也存在相同的循环坐标ql。设q1,q2,…,ql(l<k)为Lagrange函数L的循环坐标，则H函数可表示为第18页§7.2Hamiltoncanonicequa第19页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分循环积分根据正则方程有于是得l个循环积分

利用循环坐标可对Hamilton正则方程进行降维，将上式代入Hamilton函数得此时Hamilton正则方程为对于循环坐标，有即对H求pj偏导，后将pj用Cj代替第19页§7.2Hamiltoncanonicequa第20页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分循环积分积分上式，得:为积分常数。降为(j=l+1,l+2,…,k)若系统有l个循环坐标，则Hamilton正则方程的个数由2k个降为2(k-l)个。因此对于一个力学系统，希望找到尽可能多的循环坐标，循环坐标越多，对于方程的求解就越有利。第20页§7.2Hamiltoncanonicequa第21页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分H中不显含某些广义动量的情况设p1,p2,…,pl(l<k)不显含在H中，则Hamilton函数可表示为则方程故由k个减少到k-l个。H函数化为第21页§7.2Hamiltoncanonicequa第22页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分H中不显含某些广义动量的情况

（方程个数由k个，减少为k-l个）故共降维2l，即方程个数减少为2(k-l)个。第22页§7.2Hamiltoncanonicequa第23页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分例7-3空心圆管OA绕铅垂轴O在水平面内转动。它对O轴的转动惯量J0=md2，质量为m的质点M在圆管内运动，设质点受引力Fr=-μm/r2，式中r是质点到转轴O点的矢径，μ是常数。试列出系统的Hamilton正则方程并求首次积分。解：系统有两个自由度，选r、φ为广义坐标，系统的动能取无穷远处为零势能点，势能而第23页§7.2Hamiltoncanonicequa第24页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分广义动量求Hamilton函数，因为系统为保守的，故由上式可知，φ为循环坐标，则存在循环积分，即广义动量守恒第24页§7.2Hamiltoncanonicequa第25页§7.2Hamiltoncanonicequation的首次积分

pφ=常数又则存在广义能量积分即T+V=常数第25页§7.2Hamiltoncanonicequa第26页§7.3泊松括号泊松定理利用泊松方法，从已求出的首次积分中寻找新的首次积分泊松括号用泊松括号表示的正则方程泊松定理（雅可比-泊松定理）第26页§7.3泊松括号泊松定理利用泊松方法，从已求出的第27页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号设

、ψ是q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t的函数，即则泊松括号定义为泊松括号的性质(1)常数C与任意函数

所组成的泊松括号为零，即证：第27页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号设、ψ是q1第28页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号(2)两个相同函数所组成的泊松括号为零，即(3)组成泊松括号的两个函数交换顺序，则与原来的差一个符号。即证：(4)第28页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号(2)两第29页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号(5)证:(6)若则证:第29页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号(5)证第30页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号证:(7)泊松括号服从代数分配，即(8)第30页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号证:(7第31页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号证:(9)第31页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号证:(9第32页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号证:(10)如果θ=θ(qj,pj,t)(j=1,2,…,k)，则有泊松恒等式和雅可比恒等式

,轮换可得到类似式，从而得证。第32页§7.3泊松括号泊松定理泊松括号证:(10第33页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方程根据泊松括号的定义，有其中因此同理可得对一完整系统受有势力作用时，其正则方程为:

于是就可得到用泊松括号表示的正则方程为:第33页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方第34页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方程用泊松括号判断系统的首次积分设系统的首次积分为则有首次积分应为正则的一个解，式中，应均满足正则方程，即

将正则方程代入上式df/dt第34页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方第35页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方程利用泊松括号，则上式可写成此式即为正则方程的首次积分所应满足的充要条件。如果f不显含时间t，则即如函数f满足泊松括号条件，则函数即为正则方程的首次积分

第35页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方第36页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方程例7-4质量为m的质点M在稳定的势力场中运动，其势能函数为V=V(x,y,z)，试求它对质直角坐标轴Oxyz的三轴的动量矩Lx、Ly,、Lz与Hamilton函数H所构成的泊松括号：(Lx,H),(Ly,H),(Lz,H)。解：取x,y,z为广义坐标，因为是保守系统，Hamilton函数系统动能势能所以广义动量（勒让德变换）:则

从而第36页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方第37页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方程质点的动量矩则因为对应于广义坐标x,y,z的广义力Fx,Fy,Fz与势能函数V有如下关系:第37页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方第38页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方程这样同理可得如果有势力为有心力，并令坐标原点取在力心，则因此由泊松括号性质1可得为正则方程的首次积分，即质点M在运动过程中Lx、Ly,、Lz都保持恒量，这实际上就是熟知的质点在有心力作用下运动时，对力心的动量矩在三个直角坐标轴方向分别守恒。第38页§7.3泊松括号泊松定理用泊松括号表示的正则方第39页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）定理：已知函数：

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和函数ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正则方程的首次积分，则函数(

,ψ)=C3也是它的首次积分。(

,ψ)为函数

及ψ所构成的泊松括号。证明：已知

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正则方程的首次积分，因此则第39页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第40页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）由泊松括号性质(10)，函数H,

,ψ构成泊松恒等式：可得则即可推得即则也是正则方程的首次积分第40页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第41页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）泊松定理的说明若系统存在能量积分H=h，且已知另一首次积分

(qj,pj,t)=C，则由泊松定理可得(

,H)=C1也是正则方程的首次积分因此，

(qj,pj,t)=C，则即上式说明，若系统存在能量积分，则正则方程的首次积分对时间的导数亦是其首次积分；推广下去，函数，，…也都是首次积分。第41页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第42页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）应用泊松定理求首次积分的说明根据定理，似乎只要已知正则方程的两个首次积分，便可连续应用泊松定理求出正则方程的全部首次积分，但事实并非如此。因为用这样的方法得到的首次积分常常为原积分的线性组合或恒等式，不是独立的，因此，不能由它再求出新的积分。内旋积分系的概念设f1,f2,…,fs

是正则变量qj，pj的函数，且是正则方程的一组首次积分。若(fν,fμ)=0(ν,μ=1,2,…,s)则不能由这组首次积分得到新的首次积分，这组积分为内旋积分系。例如，不受力作用的自由质点，它的能量积分和三个动量积分成为内旋积分系。第42页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第43页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）例7-5质量为m的质点M，受有心力的作用，如取力心为坐标原点O，则质点运动时对Ox及Oy轴的动量矩守恒，试用泊松定理证明质点M对Oz轴的动量矩Lz=常数，即守恒解：取质点M的直角坐标x,y,z为广义坐标，按质点对Ox及Oy轴的动量矩守恒条件，得到它的正则方程的两个首次积分Lx,Ly均为正则方程的首次积分。根据泊松定理(Lx,Ly)=C也为首次积分，即第43页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第44页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）故对Oz轴的动量距守恒，即Lz

=C第44页§7.3泊松括号泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第45页§7.4正则变换正则变换的目的：通过构造新的Hamilton函数，该系统具有更简洁的正则形式和更多的循环坐标，即得到系统更多的首次积分，且保证正则方程的形式不变。正则变换(Canonicaltransformation)母函数的各种形式第45页§7.4正则变换正则变换的目的：通过构造新的Ham第46页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)点变换描述同一力学系统可以采用不同的广义坐标，如q1,q2,…,qk和Q1,Q2,…,Qk，二者之间存在着一定的变换关系

上述变换是将一组旧广义坐标q1,q2,…,qk所确定的位形空间中的一个点，变换到一组新广义坐标Q1,Q2,…,Qk所确定的位形空间中的一个点。这种变换称为点变换。

点变换不影响Lagrange方程的结构。

第46页§7.4正则变换正则变换(Canonical第47页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)正则变换(Canonicaltransformation)

正则变量：q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk

正则变量（共轭变量）：Q1,Q2,…,Qk,P1,P2,…,Pk

变换关系：(正则变换)对旧的正则变量，正则方程为

第47页§7.4正则变换正则变换(Canonical第48页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)通过变换，旧的Hamilton函数H=H(qj,pj,t)变换成新的Hamilton函数H*=H*(Qj,Pj,t)，且保持正则方程的形式不变，即

变量Q1,Q2,…,Qk,P1,P2,…,Pk仍称为正则变量或共轭变量。相空间的变换并非全为正则变换，如何构成正则变换？（两组变量需满足什么条件才能实现正则变换）要求：1.H*函数更简洁

2.有更多的循环坐标

3.新变量表示的动力学方程仍为正则的、简单、对称。第48页§7.4正则变换正则变换(Canonical第49页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)新旧两组正则变量q、p和Q、P均应满足Hamilton原理即上面两式同时成立时，两个被积函数并非完全相等，可以相差任一函数F对时间t的全导数。如设F是q、Q和t的函数

由于系统在始末位置是确定的，则第49页§7.4正则变换正则变换(Canonical第50页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)的构造方法如下：对上式乘以dt，可变为正则变换成立的充要条件是：变换式使得两个微分式与的差等于某个函数F(q,Q,t)的全微分。第50页§7.4正则变换正则变换(Canonical第51页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)将上式改写成比较各项的系数，可以得到如下变换关系旧变量对F的关系新变量对F的关系新旧H函数关系变换是否为正则变换依赖于任意函数F(q,Q,t)的选择，F称为母函数。

第51页§7.4正则变换正则变换(Canonical第52页§7.4正则变换正则变换(Canonicaltransformation)母函数F如不含时间t时，有H*=H

一般情况下，当给出了一组变换式以后，可根据微分式来判别变换是否为正则的.若给出一个母函数F，可由下式得到一组正则变换。在正则变换中，由于变换的广泛性，使得经过变换后的新变量可能不再具有原来物理意义上的“坐标”和“动量”了。第52页§7.4正则变换正则变换(Canonical第53页§7.4正则变换母函数的各种形式为了实现两组正则变量的变换，母函数F必须是包括两组变量的函数。由于4k个两组正则变量和时间t通过2k个变换关系联系着，所以其中只有2k+1个变量是独立的。母函数F在这2k个变量中要求两组变量各占一半，只含新变量或只含旧变量均不能使下式成立。因此，母函数F所显含的变量在最简单的情况下有四种不同形式：F1(q,Q,t),F2(p,Q,t),F3(q,P,t),F4(p,P,t)第53页§7.4正则变换母函数的各种形式第54页§7.4正则变换母函数的各种形式1)母函数为F1(q,Q,t)，该形式已讨论过，有关结果为2)母函数为F2(p,Q,t)应用勒让德变换，在F1(q,Q,t)基础上，确定F2(p,Q,t)的变换关系F1(q,Q,t)变量以p代替q；Q保持不变，且有：，于是取F2(p,Q,t)第54页§7.4正则变换母函数的各种形式1)母函数为第55页§7.4正则变换母函数的各种形式则有得到

（，又由得到）将式两边对t求导，可得因此Hamilton函数的变换关系为第55页§7.4正则变换母函数的各种形式则有得到第56页§7.4正则变换母函数的各种形式3)母函数F3(q,P,t)仍使用上述方法，此时变量以P代替Q；q保持不变，且有：，于是取且相应有如下关系成立由此得到变换关系为第56页§7.4正则变换母函数的各种形式3)母函数第57页§7.4正则变换母函数的各种形式4)母函数F4(p,P,t)以F3(q,P,t)为旧变量的函数，此时变量以p代替q；P保持不变，取同理得到变换关系为第57页§7.4正则变换母函数的各种形式4)母函数第58页§7.4正则变换例7-6给定正则变换的母函数试求由母函数生成的正则变换。解：母函数为F＝F(q,Q)，属q,Q型，第一种母函数形式根据则第58页§7.4正则变换例7-6给定正则变换的母函数第59页§7.4正则变换(a)而则即由式(a)可解出

(b)

(c)将式(c)代入式(b)，得第59页§7.4正则变换(a)而则即由式(a)第60页§7.4正则变换例7-7取母函数为，试求由母函数生成的正则变换。解：母函数为F＝F(q,Q)，属q,Q型，第一种母函数形式根据则则q、p与Q、P之间的关系式为第60页§7.4正则变换例7-7取母函数为第61页§7.4正则变换例7-8已知，，证明如下两组变换均为正则变换，并求相应的母函数(1)

(2)

解：是否为正则变换的充分必要条件是要依据下式构造母函数F

由已知条件故：构造是否存在。第61页§7.4正则变换例7-8已知第62页§7.4正则变换（1）由于因为所以又因所以代入判别式则即所以故为正则变换第62页§7.4正则变换（1）由于因为所以又因所以第63页§7.4正则变换（2）由于则代入判别式又由于得到则第63页§7.4正则变换（2）由于则代入判别式又由于第64页§7.4正则变换由可得将F代入得所以，因此f=常数。故母函数F为由条件得所以第64页§7.4正则变换由第65页§7.4正则变换例7-9应用正则变换求解单自由度质点的线性谐振动解：质点的质量为m，单自由度，取q为广义坐标，动能和势能为则系统为保守系统，故取母函数利用变换关系有第65页§7.4正则变换例7-9应用正则变换求解单自由度第66页§7.4正则变换联立上式，可解得因母函数不显含时间t，因此有H=H*

将q,p代入H函数则H*=P，由此可见，经过变换后的Hamilton函数更简洁，且存在循环坐标Q。对应新变量的正则方程为积分上式，得第66页§7.4正则变换联立上式，可解得因母函数不显含时第67页§7.4正则变换则H*=P=E即为系统的总机械能，系统的振动规律为由上述求解过程可以看出，正则变换后的广义坐标Q和广义动量P分别为时间t和总机械能，已不再具有原来的意义了。第67页§7.4正则变换则H*=P=E即为系统的第68页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换第68页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第69页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换1．Lagrange括号定义考虑如下变换方程令(q

,pβ)为旧变量中的任意两个，定义Lagrange括号为2．用Lagrange括号判定变换为正则变换当母函数F如不含时间t

时，正则变换的充要条件为第69页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第70页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换即变换若为正则变换，方程左边必构成某一函数的全微分。因为所以判别方程的左边要使上式成为全微分的条件是必须同时满足以下三组恒等式第70页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第71页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换展开其中的第一组，得进一步简化上式，并注意到第71页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第72页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换则有上式可用Lagrange括号表示为同理，第二组、第三组恒等式也可表示为于是，可得如下结论：

1)从一组旧变量q、p到另一组新变量Q、P的变换

第72页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第73页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用Lagrange括号判别正则变换如果满足关系式则该变换是正则变换。2)同理，考虑变换式

若该变换是正则变换，则应满足关系式第73页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第74页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换泊松括号定义为其中

、ψ是q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t的函数，即

Lagrange括号定义为通过上面两个定义比较可发现，将其中某一括号的各偏导数项上下交换位置，就可得到另一括号。而实际上两者之间确实存在一定的关系。第74页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第75页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换设有2k个互为独立的任意变量，u1,u2,…,uk,uk+1,uk+2,…,u2k均为广义坐标q1,q2,…,qk和广义动量p1,p2,…,pk的函数，则存在关系式证明：由Lagrange括号和poisson括号的定义，有其中，第75页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第76页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换于是根据上述关系，可以得到用poisson括号判别正则变换的条件。设2k个ul是q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk的函数，利用正则变换的充要条件可得到如下关系式。①令ui=pi，uj=pj，则用poisson括号判别正则变换的条件

第76页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第77页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换②令ui=pi，uj=qj，则③令ui=qi，uj=pj，则综上所述，当从一组旧变量到另一组新变量的变换，即时

第77页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第78页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换用poisson括号判别正则变换如果能从2k个变量中找到任意两个变量所形成的泊松括号，即有则这种变换就是正则变换。若将qj,pj看作Qj,Pj的函数，利用同理可得如下正则变换判别式

第78页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第79页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换例7-10已知变换为：，，试用Lagrange括号判别其是否为正则变换。解:代入Lagrange括号判别式，得因为

=β=1，故δ11=1。显然满足判别条件故上述变换为正则变换。第79页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第80页§7.5用Lagrange括号和Poisson括号判别正则变换例7-11给定变换，。试用Poinsso括号判别其是否为正则变换。解:显然有，满足判别条件故上述变换为正则变换。第80页§7.5用Lagrange括号和Poisson括第81页§7.6哈密顿－雅可比方程问题：选择怎样的母函数，使变换后的Hamilton函数为零，这是Hamilton-Jacobi方程要解决的问题。1．Hamilton-Jacobi方程的建立对于一个具有k个自由度的完整系统，Hamilton正则方程为经过正则变换后，使，相应的正则方程为如果，则上式可写成直接积分可得式中αj、βj为积分常数。为了达到上述目的，关键在于母函数的选择。第81页§7.6哈密顿－雅可比方程问题：选择怎样的母函数，第82页§7.6哈密顿－雅可比方程根据新、旧Hamilton函数H*、H的关系H*=H+әF/әt，母函数必须满足母函数F的形式可以有四种：F1(q,Q,t),F2(p,Q,t),F3(q,P,t),F4(p,P,t)这里取F=F3(q,P,t)为例，并用S(q,P,t)表示，即将Pj=βj代入S(q,P,t)中，S则可表示成变量qj、常数βj和时间t的函数，即常数βj可由初始条件决定。第82页§7.6哈密顿－雅可比方程根据新、旧Hamilto第83页§7.6哈密顿－雅可比方程于是，对应于母函数S=F3(q,P,t)形式的变换关系式可写为将代入就可得到H函数这就是Hamilton-Jacobi方程。第83页§7.6哈密顿－雅可比方程于是，对应于母函数S=第84页§7.6哈密顿－雅可比方程该方程是关于k个变量q1,q2,…,qk和时间t的一阶偏微分方程，其解称为Hamilton-Jacobi方程的全积分。当S被解出后，将S代入就可得到正则方程的解

其中包含了2k个由初始条件决定的积分常数。第84页§7.6哈密顿－雅可比方程该方程是关于k个变量q1第85页§7.6哈密顿－雅可比方程注意：1）pj可直接由解出；2）qj要由解出时，并且其为αj、βj和时间t的函数，则S应满足：或由此，将确定正则变换的母函数问题转变成了求Hamilton-Jacobi方程的全积分问题，且将变换后的新变量Q、P分别变换成为常数α和β，使相空间(qj,pj)中的相轨迹被映射到(Q,P)空间中的一个固定点，进而可直接通过变换关系得到正则方程的解。当然，能够实现这样的变换，对于得到正则方程的解是非常有用的。但困难在于对方程的求解并不是容易的事。第85页§7.6哈密顿－雅可比方程注意：1）pj可直接第86页§7.6哈密顿－雅可比方程上述内容可用Jacobi定理表达如下。如果是Hamilton-Jacobi方程的全积分，则由正则变换

所决定的方程组

乃是正则方程的解。第86页§7.6哈密顿－雅可比方程上述内容可用Jacobi第87页§7.6哈密顿－雅可比方程例7-12应用Hamilton-Jacobi方法，求解单自由度质点的线性谐振动。设系统的Hamilton函数H为解：根据得到Hamilton-Jacobi方程设函数S的形式为其中，β是变换后的动量，也是积分常数。第87页§7.6哈密顿－雅可比方程例7-12应用Hami第88页§7.6哈密顿－雅可比方程将S代入Hamilton-Jacobi方程得：则得从而又由得第88页§7.6哈密顿－雅可比方程将S代入Hamilt第8