第七节 重积分

主要内容二重积分的概念与性质二重积分的计算法二重积分的应用三重积分的概念及其计算法利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

重积分

第七节二重积分二重积分的引入二重积分的概念二重积分的性质=底面积×高特点：平顶.=？特点：曲顶.2．曲顶柱体的体积问题的提出1．平顶柱体的体积一、二重积分的概念（1）．曲顶柱体的体积？显然，平顶柱体的体积=底面积×高，而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？

以xoy平面的有界闭区域D为底、侧面是以D的边界曲线C作准线而母线平行于z轴的柱面，顶是曲面这里且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。

由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下面的解决办法：

用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域也同时记为它们的面积，分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，连续函数

的变化不大，这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体．在每个中各任取一点为高而底为的小平顶柱体体积为这n个平顶柱体体积之和可作为整个曲顶柱体体积的近似值．令n个小闭区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取上述和的极限，所得的极限就定义为所论曲顶柱体的体积综合起来，即所谓“分割、近似、作和、取极限”四步。

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：(3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，(4)取极限：曲顶柱体的体积(1)先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域（２）．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量（极限）二重积分的定义积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素D(4)面积元素为二重积分可写为注：表示以曲面z=f(x,y)为顶,D为底的曲顶柱体的体积.

二重积分的几何意义(1)设z=f(x,y)0,

(x,y)

D(2)设z=f(x,y)0,

(x,y)

D表示曲顶柱体体积的负值.(3)若z=f(x,y)在D上若干部分区域是正的,在其它部分区域是负的.例如:

设

f(x,y)

1,

(x,y)

D,

为D的面积则:解:

表示以原点O为圆心,半径为R的上半球面.上半球体的体积RRyzxRo例性质１性质２（二重积分与定积分有类似的性质）二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质4（保号性）在区域D上有

f(x,y)

g(x,y),(x,y)

D,则推论:性质6（估值定理）

设m

f(x,y)

M.(x,y)

D,D的面积为

.则性质5

性质7（二重积分中值定理）解解

二重积分的计算可以按照定义来进行，同定积分按照定义进行计算一样，能够按照定义进行计算的二重积分很少，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和积分区域却不可行。本节介绍一种计算二重积分的方法——把二重积分化为二次单积分（定积分）来计算。二、二重积分的计算(一)、利用直角坐标计算二重积分

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为

当函数在区域D上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］如果积分区域为：［Y－型］若区域如图，则必须分割.例

将化为二次积分。其中

D

由直线围成。解1：先画出积分区域D

。D

是Y－型。将D

向y

轴投影。于是，解2：D

也是X－型。将D

向x

轴投影。于是，解积分区域为于是，解如图解原式练习变换下列二次积分的次序：解积分区域如图，则可改写为例

计算其中

D

由直线围成。解先画出积分区域D

。D

是X－型。于是，于是，例计算其中是由直线及所围成的闭区域.解一如图,将积分区域视为型,解二将积分区域视为型,例计算其中是由直线及所围成的闭区域.解一将积分区域视为型,解二将积分区域视为型,解解

由以上各例可以看出，化为两次积分来计算二重积分：1、确定积分限是关键（画图）。2、既要考虑积分区域的形状，又要考虑被积函数的特性。例解X-型例解先去掉绝对值符号，如图

设区域D关于x轴对称,D1为D在第一象限中的部分,如果函数f(x,y)关于y为偶函数,则如果f(x,y)关于y为奇函数,则zyxoxyzo例求其中解因为关于轴和轴对称,且于为偶函数注:则要繁琐很多.若直接在上求二重积分,关于或关二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］(二)、极坐标系下计算二重积分

有些二重积分，积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标变量来表示比较简单，则可以考虑