第8章 第7课时 空间向量的应用(一)平行与垂直

第八章立体几何第7课时空间向量的应用(一)平行与垂直1．能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直．2．理解直线的方向向量与平面的法向量．3．能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用．请注意本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择题、填空题形式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题．1．直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量

(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有

个．平行无数多2．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有

，它们是_____向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是

确定的．无数多个共线唯一3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔

．如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔

.直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔

；若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔

；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2

的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔__________________________．若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔

.(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝01．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(

)A．a∥c，b∥c

B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对答案C2．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．垂直 D．不确定答案A解析v2＝－2v1，∴l1∥l2.3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(

)A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)答案A4．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P在平面α内的是(

)A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)答案A答案C6．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(

)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确答案C例1

(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.题型一证明平行关系(2)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝DC，E是PC的中点，求证：PA∥平面EBD.(3)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.【答案】

(1)略(2)略(3)略探究1

(1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可．(2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向向量与平面法向量垂直．(3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相平行来证． (1)如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.思考题1(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：M