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文档简介

矩阵的三角分解主讲孟纯军3.2矩阵的三角分解法我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。

3.2.1Gauss消元法的矩阵形式3.2.2Doolittle分解Doolittle分解若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分解可以实现并且唯一。A的各阶顺序主子式均不为零，即Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解例题例题例题例题例题Doolittle分解Crout分解若矩阵A有分解：A=LU，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵，则称该分解为Crout分解，若矩阵A的Doolitlle分解为A=LU，则矩阵AT的Crout分解为UTLT。所以得到计算Crout分解的计算方法如下：Cruou分解Crout分解3.2.3对称正定矩阵的Cholesky分解在应用数学中，线性方程组大多数的系数矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称正定矩阵的三角分解式求解对称正定方程组的一种有效方法，且分解过程无需选主元，有良好的数值稳定性。对称正定矩阵的Cholesky分解A对称：AT=AA正定：A的各阶顺序主子式均大于零。即

对称正定矩阵的Cholesky分解

对称矩阵的Cholesky分解定理3.2.4设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)对称矩阵的Cholesky分解证明：

对称矩阵的Cholesky分解对称矩阵的Cholesky分解对称矩阵的Cholesky分解推

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