三重积分的概念与计算

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作业

115页3,4,6,12,13第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念与计算

第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用

引例:

设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作三重积分的性质1.线性性质、单调性、积分估值公式2.区域可加性4.微元法5.对称奇偶性*6.中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为的体积,二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次积分法方法1.

投影法(“先一后二”)记作投影法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:适用范围:由平面围成的情况其中

为三个坐标例.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面.计算,其中由锥面及平面围成.解：例2.化为三次积分，由曲面及平面围成.解：如图所以曲面与xOy坐标面交于x轴和y轴.例1.方法2.截面法(“先二后一”)特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。其中

为三个坐标例3.

计算三重积分所围成的闭区域.面及平面为面上轴，解:如图，：轴和围成的等腰直角三角形.所以注：此题可用投影法求解．计算三重积分其中是上半椭球体解：则而原式例4.例.

计算三重积分解:

用“先二后一”补充：三重积分对称性：补充：三重积分对称性：2、奇偶对称性：解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,球面关于xoy面对称解1.

将用三次积分表示,其中

由所提示:思考与练习六个平面围成,3.设计算提示:利用对称性原式=奇函数tobecontinue作业

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