第2课时垂直于弦的直径

情境引入

你知道赵州桥吗？它是大约1400多年前，我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)是37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求主桥拱的半径吗？(精确到0.1m)情境引入

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？自主探究1.实验发现实验：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.结论：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.自主探究2.探索请按要求回答以下问题：(1)右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.解答：(1)是轴对称图形．

直径CD所在的直线是它的对称轴.弧：

(2)线段：AM=BM.即：直径CD平分弦AB，并且平分及.

你能证明以上结论吗？自主探究已知:如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于M.自主探究3.验证

求证：AM=BM，分析：如图，连接OA、OB，则OA=OB.可通过证明Rt△OAM和Rt△OBM全等，结合轴对称证明.自主探究自主探究4.归纳垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：

①CD是直径②CD⊥AB①CD是直径③AM=BM垂径定理推论②CD⊥AB④⑤③AM=BM⑤④自主探究5.定理应用

如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．例题评析完成情境引入的问题.解得R≈27.3(m).在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.52+(R－7.23)2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD2.OD=OC－CD=R－7.23.例题评析BODACR解：如图，AB=37，CD=7.23,所以1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE答：⊙O的半径为5cm.在Rt△

AOE

中，巩固练习2.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E.求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE巩固练习又AC=AB，∴

AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.巩固练习∴四边形ADOE为矩形，巩固练习3.（补充练习）我市居民区一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图所示，污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？4.（补充练习）如图，已知在两同心圆⊙O中，大圆的弦AB交小圆于C，D，则AC

与BD间可能存在什么关系？DOCAB巩固练习

变式1：

如图，若将AB

向下平移，当移到过圆心时，结论AC=BD

还成立吗？巩固练习DOCAB变式2：如图，连接OA，OB，若AO=BO，求证：AC=BD．DOCAB巩固练习变式3：如图，连接OC，OD，若OC=OD，求证：AC=BD．DOCAB总结提高1.垂径定理及其应用.2.将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题.3.圆中经常作辅助线——半径、弦的垂线.布置作业1.教材第89