高考数学二轮复习核心专题讲练：解析几何第3讲 双曲线解析版

第3讲双曲线目录第一部分：知识强化第二部分：重难点题型突破突破一：双曲线的定义及其应用突破二：求双曲线的轨迹方程突破三：双曲线的渐近线突破四：双曲线的离心率突破五：双曲线中焦点三角形突破六：双曲线中中点弦问题突破七：双曲线弦长及面积突破八：双曲线中定点，定值问题突破九：双曲线中定直线问题第三部分：冲刺重难点特训第一部分：知识强化1、双曲线的定义（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距离的差的绝对值等于非零常数(小于SKIPIF1<0)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.（2）集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:SKIPIF1<0.（3）说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点SKIPIF1<0的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小.①若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0的轨迹是靠近定点SKIPIF1<0的那一支;②若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0的轨迹是靠近定点SKIPIF1<0的那一支.2、双曲线的简单几何性质标准方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）图形性质范围SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0渐近线SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，a，b，c间的关系SKIPIF1<03、等轴双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时称双曲线为等轴双曲线①SKIPIF1<0；②离心率SKIPIF1<0；③两渐近线互相垂直，分别为SKIPIF1<0；④等轴双曲线的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；4、直线与双曲线的位置关系（1）代数法：设直线SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0联立解得：SKIPIF1<0①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；②SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0存在时，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线与双曲线相交于两点；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线与双曲线相离，没有交点；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线与双曲线有一个交点；相切SKIPIF1<0不存在，SKIPIF1<0时，直线与双曲线没有交点；SKIPIF1<0直线与双曲线相交于两点；5、弦长公式（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0为直线斜率（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则弦长SKIPIF1<0.6、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0渐近线方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<02、若双曲线方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）SKIPIF1<0渐近线方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<03、若渐近线方程为SKIPIF1<0，则双曲线方程可设为SKIPIF1<0，4、若双曲线与SKIPIF1<0有公共渐近线，则双曲线的方程可设为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上）7、双曲线中点弦的斜率公式设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0弦SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不平行SKIPIF1<0轴）的中点，则有SKIPIF1<0证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是弦SKIPIF1<0的中点，所以：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0第二部分：重难点题型突破突破一：双曲线的定义及其应用1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线SKIPIF1<0上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（

）A．2 B．10 C．14 D．2或10【答案】D【详解】因为双曲线SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为点P到它的一个焦点的距离等于6，设点P到另一个焦点的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选：D.2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意，点SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，根据双曲线的定义，可得点SKIPIF1<0的轨迹表示以SKIPIF1<0为焦点的双曲线SKIPIF1<0的右支，其中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合双曲线的几何性质，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的一个公共点，且SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左焦点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由椭圆SKIPIF1<0方程知其焦点为SKIPIF1<0；由双曲线SKIPIF1<0方程知其焦点为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0共焦点，设其右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0在第一象限内的交点，SKIPIF1<0由椭圆和双曲线定义知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，过点SKIPIF1<0作渐近线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】如下图所示，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，等号成立，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，该双曲线的离心率为SKIPIF1<0.故选：B.5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线右支上的一点，且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【详解】由题意可知：双曲线SKIPIF1<0焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=SKIPIF1<0丨PF2丨，由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=SKIPIF1<0丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=SKIPIF1<0丨PF丨﹣3﹣SKIPIF1<0丨PF2丨=SKIPIF1<0（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=SKIPIF1<0×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故选：B．6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线SKIPIF1<0的左、有焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，实轴长为4，离心率SKIPIF1<0，点Q为双曲线右支上的一点，点SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则双曲线方程为SKIPIF1<0，结合双曲线定义可得SKIPIF1<0，如图示，连接SKIPIF1<0,交双曲线右支于点M，即当SKIPIF1<0三点共线，即Q在M位置时，SKIPIF1<0取最小值，此时直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得点Q的坐标为SKIPIF1<0,(Q为双曲线右支上的一点)，故SKIPIF1<0，故选：B7．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（理））已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其左，右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若SKIPIF1<0，P为双曲线右支上一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线时等号成立，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：C．8．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】8【详解】由双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，双曲线的左焦点坐标SKIPIF1<0，右焦点坐标为SKIPIF1<0，由双曲线的定义，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由圆SKIPIF1<0可得圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问题转化为求点SKIPIF1<0到圆SKIPIF1<0上的最小值，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2022·河北邯郸·一模）已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线的右焦点，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆,设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0突破二：求双曲线的轨迹方程1．（2022·湖南·长沙一中高二期中）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为圆上任意一点，定点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0在圆上运动时，点SKIPIF1<0的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，该圆的半径为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在圆上运动时，所以有SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的双曲线，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，故选：D2．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一点SKIPIF1<0（其中点SKIPIF1<0的纵坐标分别为SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的面积为4，则SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在一，四象限或者二，三象限，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：B3．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）方程SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝12的化简结果为（

）A．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1 B．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1 C．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1(x＞0) D．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1(x＞0)【答案】C【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)，SKIPIF1<0，由于动点P(x,y)的轨迹方程为SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝12，则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a=12，c=10，则SKIPIF1<0，故P的轨迹的标准方程为SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1(x＞0).所以原方程可以化简为SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1(x＞0).故选：C4．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设动圆M的半径为r，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为动圆M与圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0均外切，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点M的轨迹是以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右支．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以动圆圆心M的轨迹方程为SKIPIF1<0．故选：A．5．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其左､右顶点分别为SKIPIF1<0，一条垂直于SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意知SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0三点共线及SKIPIF1<0三点共线，得SKIPIF1<0，两式相乘化简，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆SKIPIF1<0，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且SKIPIF1<0，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】设直线l的方程为SKIPIF1<0，直线m的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<07．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为一个焦点作过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的椭圆，则椭圆的另一个焦点SKIPIF1<0的轨迹方程是________.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据椭圆定义知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故焦点SKIPIF1<0的轨迹方程为双曲线的下支，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故轨迹方程为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.突破三：双曲线的渐近线1．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，则双曲线C的一条渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；所以，渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：A.2．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）与曲线SKIPIF1<0共焦点，且与双曲线SKIPIF1<0共渐近线的双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为曲线SKIPIF1<0为椭圆，焦点在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，又因为所求双曲线与双曲线SKIPIF1<0共渐近线，所以设所求双曲线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求双曲线为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由对称性不妨考虑点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离：SKIPIF1<0，故选：B.4．（2022·上海松江·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的任意一点（不是顶点），过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的角平分线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是坐标原点，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为______【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在双曲线的右支上时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在双曲线的左支上时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·江苏连云港·高二期中）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0为原点，若以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0的渐近线的一个交点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的渐近线方程为__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.突破四：双曲线的离心率1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若双曲线C上存在点P使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其离心率的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】D【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，利用向量加法法则知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0②，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0③，由②③得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以双曲线离心率的值是3故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若双曲线C上存在点P使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设SKIPIF1<0，利用向量加法法则知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，由①②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以双曲线离心率的值大于3，故选：D3．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线C：SKIPIF1<0左、右焦点，过点SKIPIF1<0的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0，结合正弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，从而SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．4．（2022·上海宝山·一模）双曲线C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点A在y轴上.双曲线C与线段SKIPIF1<0交于点P，与线段SKIPIF1<0交于点Q，直线SKIPIF1<0平行于双曲线C的渐近线，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0.根据双曲线的对称性，知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴平行，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.双曲线渐近线方程为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，由已知直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【详解】双曲线SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0，取其中一条渐近线SKIPIF1<0，取双曲线的右焦点为SKIPIF1<0，故双曲线的一个焦点到它一条渐近线的距离为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，双曲线变为SKIPIF1<0，联立直线方程得到SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0不与渐近线平行，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线的离心率的取值范围是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0突破五：双曲线中焦点三角形1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的左､右两支分别交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】C【详解】如图所示：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：C2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线C：SKIPIF1<0的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】双曲线的渐近线为SKIPIF1<0，由双曲线的对称性，不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.故选：A3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过左焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左、右两支分别交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由双曲线定义可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0与此双曲线的一个公共点，则SKIPIF1<0的面积（

）A．有最大值4 B．有最小值2 C．为SKIPIF1<0 D．为SKIPIF1<0【答案】D【详解】由双曲线方程SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰好为圆SKIPIF1<0的直径，所以SKIPIF1<0，如图所示：由双曲线定义知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故选：D.5．（2022·全国·高二单元测试）双曲线SKIPIF1<0的两焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点P在双曲线上，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0倾斜角之差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．32 D．42【答案】A【详解】根据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的两焦点可得SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0倾斜角之差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0①，根据点P在双曲线上可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0.故选：A.突破六：双曲线中中点弦问题1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与该双曲线相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．该直线不存在【答案】D【详解】解：设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，代入双曲线方程得SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；但联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程无解，所以直线SKIPIF1<0不存在.故选：D.2．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线SKIPIF1<0于A，B两点，且SKIPIF1<0为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0为AB的中点，则有SKIPIF1<0，又点A，B在双曲线上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则l的斜率SKIPIF1<0，此时，直线l的方程：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）过点SKIPIF1<0作直线l与双曲线SKIPIF1<0交于P，Q两点，且使得A是SKIPIF1<0的中点，直线l方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在【答案】D【详解】设点SKIPIF1<0，因点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得直线l的斜率为SKIPIF1<0，直线l的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，即方程组SKIPIF1<0无解，所以直线l不存在.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0的直线与双曲线交SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则双曲线方程是_______________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线方程是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·全国·高二课时练习）点SKIPIF1<0平分双曲线SKIPIF1<0的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设弦的两个端点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，即直线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．（202