矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2)以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3)把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1)反身性

;(2)对称性

若,则;(3)传递性

若,,则.三矩阵初等变换的应用利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，的通解。

(2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵

1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)，若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB)则AX=B有解，转入2°

2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷多解，转入3°

3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0

4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X１，X２，…，Xn-k与通解C１X１＋C２X2＋…＋Cn-kXn-k

5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C１，…，Cn-k为任意常数)就是AX=B的通解。6.确定向量组的线性相关性一般格式：设向量组为α1α2……αm，以α1α2……αm为列构成矩阵A，对A施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r（A），若r（A）=m，则α1α2……αm线性无关，若r（A）<m，则α1α2……αm线性相关。7.确定一向量能否由另一向量线性表出一般格式：以向量组α1α2……αm与向量β为列构成矩阵A，然后对A施行初等行变换，化为行最简形矩阵B8.求向量组的秩与极大无关组一般格式：设向量组α1α2……αm，以它们为列构成矩阵AB的非零行的首个元素所在的列向量对应的α1α2……αm中的向量αi1……αir构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组α1α2……αm的秩。结论矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处。但是由于这些计算格式有不同的原理，所以，它们也有一些明显的区别。计算格式1既可以用初等行变