20182019学年高中数学第1章导数及其应用1.5定积分1.5.11.5.2曲边梯形的面积定积分讲义含解析苏教版选修2220190416338

1．5.1&1.5.2曲边梯形的面积定积分[对应学生用书P24] 曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？提示：不能．问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．1．曲边梯形的面积将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长．于是，可用f(xi)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．2．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：→→→ 定积分设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx.如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为S＝f(x)dx.其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限． 定积分的几何意义问题1：试利用定积分的定义计算xdx的值．提示：将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积为ΔSi＝f·＝·，所以Sn＝Si＝·＝(1＋2＋3＋…＋n)＝·＝＋，当n→＋∞时，Sn→，所以xdx＝.问题2：直线x＝0，x＝1，y＝0和函数f(x)＝x围成的图形的面积是多少？提示：如图，S＝×1×1＝.问题3：以上两个问题的结果一样吗？提示：一样．问题4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的面积．一般地，定积分f(x)dx的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积．)1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如x2dx＝t2dt. 利用定积分的定义求曲边梯形的面积[例1]求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．[思路点拨]依据求曲边梯形面积的步骤求解．[精解详析](1)分割如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1,2]等分成n个小区间：，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)以直代曲取各小区间的左端点ξi，用ξ为一边长，以小区间长Δx＝为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝3·(i＝1,2,3，…，n)．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S＝Si≈3.①(4)逼近当分割无限变细，即Δx→0时，和式①的值→S.因为3＝(n＋i－1)3＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]，当n→∞时，S＝3＝1＋＋1＋＝.[一点通](1)规则四边形：利用四边形的面积公式．(2)曲边梯形①思想：以直代曲；②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为，在第i个时间段的路程近似为ΔSi＝vΔt＝·，i＝1,2，…，n.所以Sn＝Si＝·＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＝－＋·＝－＋＋3＋，n→＋∞时，－＋＋3＋→S.则当n→∞时，－＋＋3＋→.由此可知，S＝.所以这段时间行驶的路程为km. 利用定积分的几何意义求定积分[例2]利用定积分的几何意义，求：(1)dx；(2)(2x＋1)dx.[思路点拨]f(x)dx的几何意义：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和．[精解详析](1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆(如图(1)所示)．其面积为S＝·π·32＝π.由定积分的几何意义知dx＝π.(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线．(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积(如图(2)所示)．其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.[一点通](1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定．(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：①由三条直线x＝a、x＝b(a<b)、x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx(如图(1)所示)．②由三条直线x＝a、x＝b(a<b)、x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积S＝＝－f(x)dx(如图(2)所示)．2．利用定积分的几何意义求dx.解：由y＝可得x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．dx等于圆心角为60°的弓形面积CDE与矩形ABCD的面积之和．∵S弓形＝××22－×2×2sin＝－，S矩形＝AB·BC＝2，∴dx＝2＋－＝＋.3．利用定积分的几何意义求sinxdx.解：∵函数y＝sinx在x∈上是奇函数，∴sinxdx＝0.4．利用定积分的几何意义求dx.解：令y＝，则(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．因此dx表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆的面积．dx＝. 利用定积分表示平面图形的面积[例3]利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝0，y＝，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.[思路点拨]画出图形，利用定积分的几何意义表示．[精解详析](1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S＝(－0)dx＝dx.(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S＝A1＋A2，A1由y＝，y＝－，x＝1围成；A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．所以A1＝2dx，A2＝[－(x－2)]dx，所以S＝2dx＋(－x＋2)dx.[一点通]用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；(3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)根据定积分的几何意义写出结果．5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是________．解析：如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线围成的封闭图形的面积可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．答案：2π6．画出曲线y＝logx，y＝0，x＝，x＝3所围成的平面区域并用定积分表示其面积．解：曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S.则S＝logxdx－logxdx.1．当函数f(x)≥0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．2．当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时f(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即f(x)dx＝－S.3．当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．[对应课时跟踪训练(十)]一、填空题1．当n→＋∞时，表示成定积分为________．解析：根据定积分的几何意义，当n→＋∞时，表示曲线y＝sinx，x＝0，x＝π，y＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为sinxdx.答案：sinxdx2.dx＝________.解析：定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.答案：13．已知xdx＝2，则xdx＝________.解析：xdx表示直线y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所围成图形的面积，而表示直线y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所围成图形面积的相反数，所以xdx＝－2.答案：－24．若cosxdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为________．解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cosx，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：25．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S＝__________(图(1))；(2)S＝__________(图(2))；(3)S＝__________(图(3))．答案：(1)πsinxdx(2)x2